Impulssatz

Anwendung des Impulssatzes am durchströmten Krümmer

Die Vorgehensweise zur Anwendung des Impulssatzes wird am Beispiel eines durchströmten Krümmers veranschaulicht.
Der reibungsfrei mit einem idealen Fluid durchströmte Krümmer erfährt aufgrund der Impulsänderung zwischen Ein- und Austritt eine Kraft. Die Bestimmung dieser Kraft nach Betrag und Richtung wird unter Annahme der folgenden Randbedingunen durchgeführt:

Volumenkräfte werden vernachlässigt,
keine Druckänderung infolge der Schwerkraft (horizontale Lage des Krümmers),
Druck und Geschwindigkeit sind über Ein-/Austrittsquerschnitt konstant.

1. Wahl und Freischneiden des Kontrollraums

$$\vdots$$

4. Geschwindigkeiten $$u_i$$, Druckkräfte $$\vec{F}_{p_i}$$, Impulsströme $$\dot{I}_i$$ einzeichnen (siehe Abb. Kraft auf einen 90°-Krümmer).
5. + 6. Anwendung der Erhaltungsgleichungen und Berechnung von $$u_i$$ und $$p_i$$ für die Ein-/ Austrittsflächen und Ermittlung der resultierenden Kraft für jede Koordinatenrichtung
Impulssatz in x-Richtung(Kraftrichtung beachten in Bezug auf den Kontrollraum KR):

$$0 = \sum{F_X} $$

$$= -F _{Wx}+( \rho \cdot u_2 \cdot A_2) \cdot u_2 – p_{2,ue} \cdot A_2 $$

$$F_{Wx}= ( \rho \cdot u_2 \cdot A_2) \cdot u_2 – p_{2,ue} \cdot A_2$$

 

Impulssatz in y-Richtung (Kraftrichtung beachten in Bezug auf den Kontrollraum KR):
$$0 =\sum{F_y}$$
$$= – F_{W_y} + (\rho \cdot u_1 \cdot A_1) \cdot u_1 + p_{1,ue} \cdot A_1 $$
$$F_{W_y} = (\rho \cdot u_1 \cdot A_1) \cdot u_1 + p_{1,ue} \cdot A_1 $$

Impulssatz in z-Richtung: Keine Berechnung notwendig, da zweidimensionales Problem

Kontinuitätsgleichung: inkompressibles Fluid mit $$\rho=const.$$

$${\dot{m}}_1 = {\dot{m}}_2 $$

$$\rho \cdot u_1 \cdot A_1 = \rho \cdot u_2 \cdot A_2 $$

$$u_1 = u_2$$

 

7. Bestimmung der resultierenden Kraft nach Betrag und Richtung:

$$F= \sqrt{{F_{W_x}^2} + {F_{W_y}^2}}$$

$$\alpha = \arctan{\frac{F_{W_y}}{F_{W_x}}}$$

Beispiel

$$u_1 = 2\,m/s$$, $$d=0.1\,m$$, $$\rho = 1\,000\,kg/m^3$$, $$p_{1,ue}=p_{2,ue}=1\,400\,mbar$$

\begin{equation}
\begin{aligned}
F_{W_x} = 1\,130.97\,N,~~~~~F_{W_y} = 1\,130.97\,N, ~~~~~F_W = 1\,599.44\,N
\end{aligned}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{aligned}
\alpha %&= \arctan{\frac{F_{W_y}}{F_{W_x}}} \\
&= \arctan{\frac{1\,130.97\,N}{1\,130.97\,N}} \nonumber \\
&= 45°
\end{aligned}
\end{equation}

 

 

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