Bernoulligleichung

Bernoulligleichung in unterschiedlichen Schreibweisen

Im Sonderfall einer reibungsfreien, inkompressiblen Strömung ohne Energieaustausch mit der Umgebung wird die Energiegleichung als Bernoulli-Gleichung bezeichnet. Diese lässt sich in drei unterschiedlichen Schreibweisen darstellen, welche sich jedoch ineinander überführen lassen.

Energieform
\begin{equation}
\frac{1}{2} \cdot {v_1}² + \frac{p_1}{\rho} + g \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot {v_2}² + \frac{p_2}{\rho} + g \cdot h_2
\label{eqn:Bernoulli_Energieform}
\end{equation}

Druckform
\begin{equation}
\frac{1}{2} \cdot \rho \cdot {v_1}² + p_1 + \rho \cdot g \cdot h_1 =
\frac{1}{2} \cdot \rho \cdot {v_2}² + p_2 + \rho \cdot g \cdot h_2
\end{equation}

Höhenform
\begin{equation}
\frac{1}{2} \cdot \frac{{v_1}²}{g} + \frac{p_1}{\rho \cdot g} + h_1 =
\frac{1}{2} \cdot \frac{{v_2}²}{g} + \frac{p_2}{\rho \cdot g} + h_2
\end{equation}

 

Abb. Graphische Darstellung der drei Schreibweisen der Bernoulli-Gleichung zeigt am Beispiel einer Ausströmung aus einem Reservoir konstanter Höhe die jeweiligen Terme am Beispiel der Energieform in verschiedenen Querschnitten.
Die Summe dieser Terme ist bei verlustfreier inkompressibler Betrachtung jeweils für alle Querschnitte gleich.

 

Herleitung der Ausströmgleichung nach Torricelli

 

Auf Basis von Abb. Verlustfreier Ausfluss aus einem Behälter lässt sich die Ausströmgleichung nach Torricelli mithilfe der Bernoulli-Gleichung herleiten. Aus dem oben offenen Gefäß fließt das Fluid reibungsfrei und ohne Verluste an der Ausflussöffnung in Höhe $$h_2$$ in die Umgebung mit dem Druckniveau $$p_0$$. Die Berechnung erfolgt am Beispiel der Energieform der Bernoulli-Gleichung entsprechend Gleichung \eqref{eqn:Bernoulli_Energieform}:
\begin{equation}
\frac{1}{2} \cdot {v_1}² + \frac{p_1}{\rho} + g \cdot h_1
~=~
\frac{1}{2} \cdot {v_2}² + \frac{p_2}{\rho} + g \cdot h_2
\end{equation}
mit $$p_1 = p_2 = p_0 ~{und}~ v_1 \approx 0$$ unter Annahme eines hinreichend großen Reservoirs.

Fasst man den Höhenunterschied zu $$h= h_1 -h_2$$ zusammen, ergibt sich die Formel nach Torricelli zu
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{1}{2} \cdot {v_2}² ~&=~ g \cdot (h_1 – h_2) \\
%~&=~ g \cdot h \\
v_2 ~&=~ \sqrt{2 \cdot g\cdot h} ~~.
\end{aligned}
\label{eqn:Torricelli}
\end{equation}

Hierbei ist es nicht relevant, ob die Ausströmung horizontal, nach unten oder nach oben erfolgt, solange sich das Ausströmniveau auf der gleichen Höhe befindet.

Druckmessung im strömenden Fluid

 

Zur Messung des Drucks in einem strömenden Fluid macht man sich die Tatsache, dass im Staupunkt eines Körpers die Geschwindigkeit Null ist sowie die Definition des Gesamtdrucks als Addition des statischen und dynamischen Drucks $$q = \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v^2$$ zunutze.

Die Bernoulli-Gleichung in der Druckform liefert: $$\frac{1}{2} \cdot \rho \cdot {v_2}^2 + p_2 ~=~ \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot {v_1}^2 + p_1$$

Der Gesamtdruck, auch Staudruck genannt, ergibt sich somit unter den Randbedingungen $$v_1 = v$$, $$v_2 = 0$$ und $$p_1=p_0$$ zu $$p_{gesamt} = p_2 = \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v^2 + p_0 = q + p_0{.}$$

Anwendung findet dieses Prinzip im Pitot-Rohr, bei welchem ein vorne abgerundeter Körper den Staudruck in der Strömung misst.

 

Geschwindigkeitsmessung im strömenden Fluid

 

Mit einem auf dem Pitot-Rohr basierenden Prandtl-Rohr lässt sich durch Zusammenschalten des statischen Drucks und des Gesamtdrucks direkt der Staudruck ermitteln. Hierbei liegt im zweiten Schenkel des U-Rohr-Manometers nicht der Umgebungsdruck sondern der statische Druck nach Abb. Geschwindigkeitsmessung mit Prandtl-Rohr im strömenden Fluid an.
Somit ergibt sich die gemessene Druckdifferenz zu: $$q = p_g – p_{stat} = {\frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v^2}$$

Ist nun die Dichte des Messfluids im U-Rohr-Manometer bekannt, ergibt sich die Anströmgeschwindigkeit direkt aus dem Kräftegleichgewicht:

\begin{align}
\frac{1}{2} \cdot \rho_{Gas} \cdot v^2 &= q = \rho_{Fluid} \cdot g \cdot h
v &= {\sqrt{\frac{\rho_{Fluid}}{\rho_{Gas}} \cdot 2 \cdot g \cdot h}}
\end{align}

Volumenstrommessung mittels einer Venturidüse

Ein Venturirohr nach Abb. Volumenstrommessung mittels einer Venturidüse besteht aus einem glattwandigen Rohrstück mit einer Verengung.
Diese Verengung muss so ausgeführt sein, dass im zu messenden Geschwindigkeitsbereich keine Ablösungen auftreten, welche die Messung verfälschen können.
Nach der Kontinuitätsgleichung fließt in beiden Querschnitten $$A_1$$ und $$A_2$$ dieselbe Menge Fluid, womit die Geschwindigkeit im engeren Querschnitt entsprechend dem Querschnittsverhältnis ansteigt.

$$v_2 = {\frac{A_1}{A_2} \cdot v_1}$$

Somit kann der Druckunterschied für ein inkompressibles Fluid unter der Vernachlässigung der Reibung nach Bernoulli berechnet werden. Da bei horizontaler Lage keine Änderung der Lageenergie auftritt, kann dieser Term gleich Null gesetzt werden:

$$\frac{1}{2} \cdot \rho \cdot {v_1}^2 + p_1 = \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot {v_2}^2 + p_2 {.}$$

Hieraus folgt

$$\Delta p = (p_1 – p_2)={\frac{1}{2} \cdot \rho \cdot {v_1}^2 \cdot \left(\left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 – 1 \right) {.}}$$

Aufgelöst nach der Geschwindigkeit $$v_1$$ ergibt sich

\begin{equation}
v_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot (p_1 -p_2)}{\rho \cdot \left(\left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 – 1 \right) }}
\end{equation}

und der Volumenstrom $$\dot{V}$$ für einen kreisrunden Querschnitt
\begin{equation}
\dot{V} = v_1 \cdot A_1 = v_1 \cdot \pi \cdot {r_1}²~~.
\end{equation}

Der in der engsten Stelle des Venturirohrs herrschende Unterdruck wird, unter anderem in der Chemie, auch dazu verwendet, um Gase in Flüssigkeiten aufzulösen oder in einem Dekantierausguss zur Geschmacksverbesserung von Rotwein. Die zugemischte Luft vergrößert die Flüssigkeitsoberfläche und verbessert die Freisetzung von Geschmacksstoffen.

Ein Sonderfall der Venturi-Düse ist die sogenannte Laval-Düse, bei welcher im engsten Querschnitt Schallgeschwindigkeit erreicht wird.

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