Energieerhaltungssatz

Energieerhaltungssatz

Grundsätzlich gilt für Fluide der aus der Mechanik bekannte Grundsatz, dass Energie nicht aus dem Nichts entstehen oder vernichtet werden kann, dass sie nur von einem Körper auf den anderen übergehen oder ihre Erscheinungsform ändern kann, mithin die Gesamtenergie in einem abgeschlossenen System konstant bleibt.

Energiegleichung eines idealisierten Fluids ohne Reibung

Für eine erste Betrachtung wird von einem idealen Fluid ausgegangen, welches keine Reibung aufweist und inkompressibel ist. Somit ist bei Betrachtung eines Fluids in einer Strömungsröhre die Gesamtenergie entlang der Stromröhre konstant, sofern nicht von außen Energie zu- oder abgeführt wird. Bei dem angenommenen Fluid ist dies nur möglich, wenn eine Kraft- oder Arbeitsmaschine eingeschaltet wird.

Für das betrachtete Fluid ergibt sich die Gesamtenergie aus der Summe der Einzelenergien:

Potentielle/Lageenergie,

\begin{equation}
E_P = m \cdot g \cdot h
\end{equation}

Druckenergie,
\begin{equation}
E_D = m \cdot \frac{p}{\rho}
\end{equation}
Kinetische Energie,
\begin{equation}
E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2
\end{equation}
Innere Energie
\begin{equation}
U = c_v \cdot m \cdot T ~~.
\end{equation}

Es gilt die Konvention, dass die Energieänderung bei zugeführter Arbeit positiv und bei abgeführter Arbeit negativ ist.

 

Innerhalb der Stromröhre nach Abb. Energieerhaltung in einer Stromtröhre fließt der stationäre Massenstrom $$\dot{m}$$ durch die beiden beliebigen Querschnitte $$A_1$$ und $$A_2$$. Die Anwendung des Energiesatzes
\begin{equation}
\sum{\dot{E}_1} = \sum{\dot{E}_2}
\end{equation}
ergibt für idealisierte strömende Fluide ohne Reibung und ohne Zu-/Abführung von Energie oder Arbeit die folgende Gleichung:

$$m \cdot g \cdot h_1 + m \cdot \frac{p_1}{\rho} + m \cdot c_v \cdot T_1 + \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_1}^2 $$
=
$$m \cdot g \cdot h_2 + m \cdot \frac{p_2}{\rho} + m \cdot c_v \cdot T_2 + \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_2}^2$$

 

Da diese Gleichung nicht nur für die Ein- und Austrittsquerschnitte gilt, sondern für alle Querschnitte innerhalb der Stromröhre, ist dies gleichbedeutend mit
\begin{equation}
E_{ges} =
\underbrace{~~m \cdot g \cdot h~~ \vphantom{\frac{1}{\rho}}}_{Lageenergie} ~+~
\underbrace{~~m \cdot \frac{p}{\rho}~~}_{Druckenergie} ~+~
\underbrace{~~\frac{1}{2} \cdot m \cdot {v}²~~ \vphantom{\frac{1}{\rho}}}_{kin.~Energie}~+~
\underbrace{~~m \cdot c_v \cdot T ~~\vphantom{\frac{1}{\rho}}}_{Innere~Energie}~=~ konstant~~{.}
\end{equation}

Energiegleichung eines Fluids

Bei realen Fluiden resultieren aus den Strömungsverhältnissen zusätzliche Verluste. Diese können einerseits durch Reibungswiderstände im Fluid bzw. gegenüber den Begrenzungen entstehen, andererseits wird durch Wirbel und Sekundärströmungen das Energieniveau erniedrigt. Die Gesamtheit der Verluste zwischen zwei betrachteten Ebenen kann durch Verlustbeiwerte $$\varphi_{12}$$ berücksichtigt werden. Hierauf wird später noch detaillierter eingegangen.
\begin{equation}
m \cdot g \cdot h_1 + m \cdot \frac{p_1}{\rho_1} + m \cdot c_v \cdot T_1 + \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_1}²
=
m \cdot g \cdot h_2 + m \cdot \frac{p_2}{\rho_2} + m \cdot c_v \cdot T_2 + \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_2}² + \varphi_{12}
\end{equation}

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