Aerostatik

Aerostatik

Die Aerostatik befasst sich mit ruhenden kompressiblen Gasen, welche unter dem Einfluss einer Beschleunigung stehen. Hierbei handelt es sich meist um die Erdbeschleunigung. Das wichtigste Anwendungsgebiet ist hierbei die Bestimmung der Zustandsgrößen in der Atmosphäre. Im Kapitel Atmospähre wurden bereits einige Aspekte der Atmosphäre betrachtet, im folgenden wird noch einmal detaillierter auf die zugrundeliegenden theoretischen Inhalte eingegangen.
Zur Wiederholung der Gleichung \eqref{eqn:idealesGas} gilt für ein ideales Gas:
\begin{equation}
p = \rho \cdot R_i \cdot T\\
T= \text{Absolute Temperatur in Kelvin} \\
R_i~=\text{Spezifische Gaskonstante}
\label{eqn:idealesGas2}
\end{equation}

Kräftegleichgewicht einer Fluidelements in Abhängigkeit der Höhe

Für den Luftdruck der Atmosphäre hat sich allgemein in erster Näherung die sogenannte barometrische Höhenformel etabliert, welche den Luftdruck $$p$$ als Funktion der Höhe $$z$$ beschreibt.
Hierbei wird die in einer vertikalen Säule sich befindliche Luft als Ursache für die Druckänderung $$dp$$ \“uber die infinitesimale Höhe $$dz$$ betrachtet.
Aus Abb. Kräftegleichgewicht eines Fluidelements in Abhängigkeit der Höhe ergibt sich die folgende Beziehung:

\begin{equation}
p \cdot dA – (p+dp) \cdot dA = \rho(z) \cdot g \cdot dz \cdot dA ~~.
\label{eqn:barHoehenformel0}
\end{equation}

Durch Umformen erhält man hieraus die sogenannte „Aerostatische Grundgleichung“
\begin{equation}
\frac{dp}{dz} = – \rho(z) \cdot g ~~.
\label{eqn:barHoehenformel}
\end{equation}

Durch Integration erhält man für eine über der Höhe $$z$$ als konstant angenommene Erdbeschleunigung
\begin{equation}
% \begin{aligned}
\int\limits_{0}^{z} dz = -\frac{1}{g} \cdot \int\limits_{p_0}^{p(z)} \frac{1}{\rho(z)} \cdot dp ~~.
% \end{aligned}
\label{eqn:intbarHoehenformel}
\end{equation}

Unter Berücksichtigung der Zustandsgleichung für ideale Gase
\begin{equation}
p = \rho \cdot R_i \cdot T
\label{eqn:idealesGas}
\end{equation}

und unter Verwendung der spezifischen Gaskonstante $$R_i$$ resultiert aus Gleichung \eqref{eqn:idealesGas} für ein Mol $$p \cdot V = R \cdot T$$. Hierbei findet die Dichte $$\rho$$ als Quotient aus der Molmasse $$M$$ und dem Molvolumen $$V$$ und die universelle Gaskonstante $$\Re = 8.315~J/(mol K)$$ Eingang in die Zustandsgleichung:

\begin{equation}
\rho = \frac{M}{V} = \frac{M \cdot p}{\Re \cdot T}~~.
\label{eqn:barHoehenformel2}
\end{equation}

Hieraus ergibt sich nach Einsetzen aus Gleichung ?? die Druckänderung über der Höhe zu

\begin{equation}
dp = -p \cdot \frac{M \cdot g}{\Re \cdot T} \cdot dz~~.
\label{eqn:barHoehenformel3}
\end{equation}

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