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Anwendung des Impulssatzes am durchströmten Krümmer

Kraft auf einen 90°-Krümmer

Kraft auf einen 90°-Krümmer

Die Vorgehensweise zur Anwendung des Impulssatzes wird am Beispiel eines durchströmten Krümmers veranschaulicht.
Der reibungsfrei mit einem idealen Fluid durchströmte Krümmer erfährt aufgrund der Impulsänderung zwischen Ein- und Austritt eine Kraft. Die Bestimmung dieser Kraft nach Betrag und Richtung wird unter Annahme der folgenden Randbedingunen durchgeführt:

Volumenkräfte werden vernachlässigt,
keine Druckänderung infolge der Schwerkraft (horizontale Lage des Krümmers),
Druck und Geschwindigkeit sind über Ein-/Austrittsquerschnitt konstant.

1. Wahl und Freischneiden des Kontrollraums

\vdots

4. Geschwindigkeiten u_i, Druckkräfte \vec{F}_{p_i}, Impulsströme \dot{I}_i einzeichnen (siehe Abb. Kraft auf einen 90°-Krümmer).
5. + 6. Anwendung der Erhaltungsgleichungen und Berechnung von u_i und p_i für die Ein-/ Austrittsflächen und Ermittlung der resultierenden Kraft für jede Koordinatenrichtung
Impulssatz in x-Richtung(Kraftrichtung beachten in Bezug auf den Kontrollraum KR):

0 = \sum{F_X}

= -F _{Wx}+( \rho \cdot u_2 \cdot A_2) \cdot u_2 - p_{2,ue} \cdot A_2

F_{Wx}= ( \rho \cdot u_2 \cdot A_2) \cdot u_2 - p_{2,ue} \cdot A_2

 

Impulssatz in y-Richtung (Kraftrichtung beachten in Bezug auf den Kontrollraum KR):
0 =\sum{F_y}
= - F_{W_y} + (\rho \cdot u_1 \cdot A_1) \cdot u_1 + p_{1,ue} \cdot A_1
F_{W_y} = (\rho \cdot u_1 \cdot A_1) \cdot u_1 + p_{1,ue} \cdot A_1

Impulssatz in z-Richtung: Keine Berechnung notwendig, da zweidimensionales Problem

Kontinuitätsgleichung: inkompressibles Fluid mit \rho=const.

{\dot{m}}_1 = {\dot{m}}_2

\rho \cdot u_1 \cdot A_1 = \rho \cdot u_2 \cdot A_2

u_1 = u_2

 

7. Bestimmung der resultierenden Kraft nach Betrag und Richtung:

F= \sqrt{{F_{W_x}^2} + {F_{W_y}^2}}

\alpha = \arctan{\frac{F_{W_y}}{F_{W_x}}}

Beispiel

u_1 = 2\,m/s, d=0.1\,m, \rho = 1\,000\,kg/m^3, p_{1,ue}=p_{2,ue}=1\,400\,mbar

\begin{equation}
\begin{aligned}
F_{W_x} = 1\,130.97\,N,~~~~~F_{W_y} = 1\,130.97\,N, ~~~~~F_W = 1\,599.44\,N
\end{aligned}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{aligned}
\alpha %&= \arctan{\frac{F_{W_y}}{F_{W_x}}} \\
&= \arctan{\frac{1\,130.97\,N}{1\,130.97\,N}} \nonumber \\
&= 45°
\end{aligned}
\end{equation}

 

 

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