Anwendung des Impulssatzes am durchströmten Krümmer

Kraft auf einen 90°-Krümmer
Die Vorgehensweise zur Anwendung des Impulssatzes wird am Beispiel eines durchströmten Krümmers veranschaulicht.
Der reibungsfrei mit einem idealen Fluid durchströmte Krümmer erfährt aufgrund der Impulsänderung zwischen Ein- und Austritt eine Kraft. Die Bestimmung dieser Kraft nach Betrag und Richtung wird unter Annahme der folgenden Randbedingunen durchgeführt:
Volumenkräfte werden vernachlässigt,
keine Druckänderung infolge der Schwerkraft (horizontale Lage des Krümmers),
Druck und Geschwindigkeit sind über Ein-/Austrittsquerschnitt konstant.
1. Wahl und Freischneiden des Kontrollraums
$$\vdots$$
4. Geschwindigkeiten $$u_i$$, Druckkräfte $$\vec{F}_{p_i}$$, Impulsströme $$\dot{I}_i$$ einzeichnen (siehe Abb. Kraft auf einen 90°-Krümmer).
5. + 6. Anwendung der Erhaltungsgleichungen und Berechnung von $$u_i$$ und $$p_i$$ für die Ein-/ Austrittsflächen und Ermittlung der resultierenden Kraft für jede Koordinatenrichtung
Impulssatz in x-Richtung(Kraftrichtung beachten in Bezug auf den Kontrollraum KR):
$$0 = \sum{F_X} $$
$$= -F _{Wx}+( \rho \cdot u_2 \cdot A_2) \cdot u_2 – p_{2,ue} \cdot A_2 $$
$$F_{Wx}= ( \rho \cdot u_2 \cdot A_2) \cdot u_2 – p_{2,ue} \cdot A_2$$
Impulssatz in y-Richtung (Kraftrichtung beachten in Bezug auf den Kontrollraum KR):
$$0 =\sum{F_y}$$
$$= – F_{W_y} + (\rho \cdot u_1 \cdot A_1) \cdot u_1 + p_{1,ue} \cdot A_1 $$
$$F_{W_y} = (\rho \cdot u_1 \cdot A_1) \cdot u_1 + p_{1,ue} \cdot A_1 $$
Impulssatz in z-Richtung: Keine Berechnung notwendig, da zweidimensionales Problem
Kontinuitätsgleichung: inkompressibles Fluid mit $$\rho=const.$$
$${\dot{m}}_1 = {\dot{m}}_2 $$
$$\rho \cdot u_1 \cdot A_1 = \rho \cdot u_2 \cdot A_2 $$
$$u_1 = u_2$$
7. Bestimmung der resultierenden Kraft nach Betrag und Richtung:
$$F= \sqrt{{F_{W_x}^2} + {F_{W_y}^2}}$$
$$\alpha = \arctan{\frac{F_{W_y}}{F_{W_x}}}$$
Beispiel
$$u_1 = 2\,m/s$$, $$d=0.1\,m$$, $$\rho = 1\,000\,kg/m^3$$, $$p_{1,ue}=p_{2,ue}=1\,400\,mbar$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
F_{W_x} = 1\,130.97\,N,~~~~~F_{W_y} = 1\,130.97\,N, ~~~~~F_W = 1\,599.44\,N
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\alpha %&= \arctan{\frac{F_{W_y}}{F_{W_x}}} \\
&= \arctan{\frac{1\,130.97\,N}{1\,130.97\,N}} \nonumber \\
&= 45°
\end{aligned}
\end{equation}
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