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Druckverlustbeiwert bei plötzlichen Querschnittsänderungen

Querschnittserweiterung und Druckrückgewinnung im Stufendiffusor

Querschnittserweiterung und Druckrückgewinnung im Stufendiffusor

 

Analog zur Bestimmung der Verluste bei schlagartiger Querschnittserweiterung in Kap. Inkompressible Strömung mit Reibung auf Basis der Energierhaltung und der
am Kontrollvolumen angreifenden Kräfte, lässt sich der Druckverlust auch mithilfe der Impulserhaltung ermitteln.
Hier werden die beiden Strömungszustände bei Einströmen in das Kontrollvolumen am Querschnitt und nach Stabilisierung der Strömung im Querschnitt betrachtet.
Der Querschnitt muss bei turbulent angenommener Strömung mindestens stromab der Querschnittserweiterung liegen. Der Massenstrom
ergibt sich mit der Kontinuitätserhaltung aus der mittleren Geschwindigkeit im Querschnitt oder .

Massenerhaltung

\begin{equation}
\begin{aligned}
v_1 \cdot A_1 &= v_2 \cdot A_2 \\
v_2 &= v_1 \cdot \frac{A_1}{A_2}
\end{aligned}
\end{equation}

Impulserhaltung

Unter der Annahme, dass sich die Strömung im abgelösten Bereich in Ruhe befindet, herrscht der Druck aufgrund der Gleichgewichtsbetrachtung in vertikaler Richtung auf dem gesamten Querschnitt .
\begin{equation}
\begin{aligned}
\sum{F_x} &= p_{1,Ü} \cdot A_2
- p_{2,Ü} \cdot A_2
+ \rho \cdot v_1 \cdot A_1 \cdot v_1
- \rho \cdot v_2 \cdot A_2 \cdot v_2 =0 \\
(p_{1,Ü} - p_{2,Ü}) \cdot A_2 &= - \rho \cdot A_1 \cdot {v_1}² + \rho \cdot A_2 \cdot {v_2}² \\
(p_{1,Ü} - p_{2,Ü}) &= \rho \left( {v_2}² - {v_1}² \cdot \frac{A_1}{A_2} \right)
\end{aligned}
\end{equation}

Energieerhaltung mit spezifischer Dissipation in der Energieform nach Bernoulli

\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{{v_2}²}{2} + \frac{p_{2,Ü}}{\rho} &= \frac{{v_1}²}{2} + \frac{p_{1,Ü}}{\rho} - \zeta \frac{{v_1}²}{2} \\
(p_{1,Ü} - p_{2,Ü}) &= \frac{\rho}{2} \cdot \left( {v_2}² - {v_1}² + \zeta \cdot {v_1}² \right)
\end{aligned}
\end{equation}

Setzt man anschließend die beiden Beziehungen für gleich und ersetzt , so erhält man nach Auflösen den
sogenannten „Borda-Carnot’scher Stoßverlust“ zu

\begin{equation}
\begin{aligned}
\rho \left( {v_2}² - {v_1}² \cdot \frac{A_1}{A_2} \right)
&=
\frac{\rho}{2} \cdot \left( {v_2}² - {v_1}² + \zeta \cdot {v_1}² \right) \\
{v_1}²\cdot {\left( \frac{A_1}{A_2} \right)}^2
-{v_1}² \cdot \frac{A_1}{A_2}
&=
\frac{1}{2} \cdot \left({v_1}²\cdot \left( \frac{A_1}{A_2} \right)^2
-{v_1}² + \zeta \cdot {v_1}² \right) \\
\frac{{v_1}²}{2} \cdot \left( \frac{A_1}{A_2} \right)^2 - {v_1}² \cdot \frac{A_1}{A_2}
&=
\frac{{v_1}²}{2} \cdot \zeta - \frac{{v_1}²}{2}\\
\zeta
&=
\left( \frac{A_1}{A_2} \right)^2 - 2 \cdot \frac{A_1}{A_2} +1 \\
\zeta
&=
\left( \frac{A_1}{A_2} - 1 \right)^2
\end{aligned}
\end{equation}

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