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Fluidkraft auf eine ebene Wand

Zur Auslegung von Behältern, Deichen etc. ist die resultierende Druckkraft auf die Wände entscheidend für die notwendige Ausgestaltung. Betrachten wir in Abb. Kräfte auf eine eben Wand die ebene Wand eines mit Flüssigkeit konstanter Dichte gefüllten Behälters.

Die Wand sei um den Winkel \alpha gegenüber der Vertikalen geneigt. Zunächst ist der Angriffspunkt der resultierdenen Kraft aufgrund der Höhenabhängigkeit des Druckes unbekannt. Zur Ermittlung der resultierenden Druckkraft betrachten wir deshalb zunächst eine kleine Fläche dA.

Kräfte auf eine ebene Wand

Kräfte auf eine ebene Wand

Der Punkt P liegt h(y) ~=~ y \cdot cos \, \alpha unterhalb der Oberfläche mit dem Druck p_0.
Nach der hydrostatischen Grundgleichung beträgt der Druck im Punkt P:
\begin{equation}
p(y) ~=~ {p_0 ~+~ (\rho \cdot g \cdot y \cdot cos\, \alpha) ~~.}
\end{equation}

Dem Betrag nach ergibt sich der Normalkraftunterschied am Flächenelement dA somit zu:
\begin{align}
dF ~&=~ p(y) \cdot dA ~-~ p_0 \cdot dA
\nonumber \\
&=~ {(p_0 ~+~ \rho \cdot g \cdot y \cdot cos\, \alpha) \cdot dA ~-~ p_0 \cdot dA} \nonumber \\
&=~ {\rho \cdot g \cdot y \cdot cos\, \alpha \cdot dA ~~.}
\end{align}

Durch Integration über die Fläche erhält man die Gesamtkraft
\begin{align}
F ~&=~ \int\limits_{A}{dF}
\nonumber \\
~&=~ {\int\limits_{A}{\rho \cdot g \cdot h \cdot dA}}
\nonumber\\
&=~ {\rho \cdot g \cdot cos\, \alpha \cdot \int\limits_{A}{y \cdot dA} ~~.}
\end{align}

Unter Kenntnis des 'Statischen Moments' aus der Mechanik erhält man die y-Koordinate des Flächenschwerpunkts
\begin{equation}
\int\limits_{A}{y \cdot dA ~= ~ y_s \cdot A} ~~.
\end{equation}

Somit ergibt sich die Gesamtkraft auf die ebene Fläche zu
\begin{align}
F ~&=~ \rho \cdot g \cdot cos\, \alpha \cdot y_s \cdot A
\nonumber \\
~&=~ \rho \cdot g \cdot h_S \cdot A~~.
\label{eqn:Kraft_auf_ebene_Wand}
\end{align}

Ermittlung des Angriffspunkts der Kraft F
Aufgrund der Tiefenabhängigkeit des Drucks greift die resultierende Kraft F nicht im Schwerpunkt, sondern in einem noch zu ermittelnden Druckmittelpunkt D(x_D,y_D) an. Aufgrund der Tatsache, dass der Druck mit der Tiefe zunimmt, liegt dieser Punkt unterhalb des Schwerpunktes. Die Ermittlung der Koordinaten erfolgt mittels einer Momentenbilanz um die in die Fläche zeigende Koordinatenachse z. Das Momentengleichgewicht für symmetrische Flächen liefert für das betrachtete Flächenelement dA:
\begin{align}
dM ~&= ~ dF \cdot y
\nonumber \\
~&= ~ {\rho \cdot g \cdot cos\, \alpha \cdot y² \cdot dA}
\label{eqn:Moment_über_dA01}
\end{align}

Somit ergibt sich das Gesamtmoment aus der Integration über die Fläche dA:
\begin{equation}
\begin{aligned}
M ~&= ~{\rho \cdot g \cdot cos\, \alpha \cdot \int\limits_{A}{y² \cdot dA}} \\
\end{aligned}
\end{equation}

Mit dem Flächenträgheitsmoment bzgl. der z-Achse
\begin{equation}
I_z ~=~ {\int\limits_{A}{y² \cdot dA}}
\end{equation}

folgt aus Gleichung \eqref{eqn:Moment_über_dA01}

\begin{equation}
\begin{aligned}
M ~=~{\rho \cdot g \cdot cos\, \alpha \cdot I_z ~~.}
\end{aligned}
\end{equation}

Die Lage des Druckpunktes in y-Richtung ergibt sich somit aus der Betrachtung des Momentensatzes unter der Bedingung, dass \sum{M_z}=0.
\begin{align}
M ~&=~ F \cdot y_D
\nonumber \\
y_D ~&=~\frac{M}{F} ~=~ {\frac{\rho \cdot g \cdot cos\, \alpha \cdot I_z}{\rho \cdot g \cdot cos\, \alpha \cdot A \cdot y_s}}
\nonumber \\
~&=~ {\frac{I_z}{A \cdot y_S}}
\end{align}

Das Flächenträgheitsmoment I_z entspricht dem Flächenträgheitsmoment I_s, wenn die Drehachse durch den Flächenschwerpunkt geht. In allen anderen Fällen, d.h. der Drehpunkt befindet sich außerhalb des Schwerpunkts, berechnet sich das zu verwendende Flächenträgheitsmoment I_z nach dem 'Satz von Steiner' wie folgt:
\begin{equation}
\begin{aligned}
I_z ~= ~ {I_S ~+~ (A \cdot y_S^2)}
\end{aligned}
\end{equation}
mit der Einheit [m^4]. Die Größe y_s bezeichnet hier die Verschiebung der Drehachse aus dem Schwerpunkt.

Damit folgt die Koordinate y_D für den Druckmittelpunkt eines symmetrischen Querschnitts zu
\begin{equation}
\begin{aligned}
y_D ~&=~ {\frac{I_S}{A \cdot y_S} ~+~ y_S~~.}
\end{aligned}
\end{equation}

Der Abstand des Druckmittelpunktes D vom Flächenschwerpunkt S wird Exzentrizität e genannt und ist wie folgt definiert:
\begin{equation}
\begin{aligned}
e~=~ {y_D~-~y_S ~=~ \frac{I_S}{A \cdot y_S}~~.}
\end{aligned}
\end{equation}

Somit berechnet sich der Abstand des Druckmittelpunktes von der Oberfläche zu
\begin{equation}
\begin{aligned}
h_D ~&=~y_D \cdot cos \, \alpha
\\
~&=~ \left( y_S ~+~ \frac{I_S}{A \cdot y_S} \right) \cdot cos\, \alpha
\\
~&=~ y_S \cdot cos\, \alpha ~+~\frac{I_S}{A \cdot y_S} \cdot cos\, \alpha
\\
~&=~ h_S ~+~ \frac{I_S}{A \cdot y_S} \cdot cos\, \alpha
\\
~&=~ h_S ~+~ \frac{I_S}{A \cdot h_S} \cdot \left(cos\, \alpha \right)^2~~.
\end{aligned}
\end{equation}

Wie oben erwähnt, gilt dies für symmetrische Flächen, da S und D in diesem Fall auf einer Symmetrieebene liegen. Bei nichtsymmetrischen Flächen müssen die Koordinaten z_S und z_D aus der Momentenbilanz um die y-Achse bestimmt werden. Die Herleitung erfolgt analog zum Momentengleichgewicht um die z-Achse. Hierbei ist das gemischte Flächenträgheitsmoment I_{yz} zu verwenden:
\begin{align}
dM ~&=~ dF \cdot z
~&=~\rho \cdot g \cdot cos\, \alpha \cdot y \cdot z \cdot dA
\label{eqn:Moment_über_dA02}
\end{align}
Somit ergibt sich das Gesamtmoment aus der Integration über die Fläche dA:
\begin{equation}
\begin{aligned}
M ~&=~\rho \cdot g \cdot cos\, \alpha \cdot \int\limits_{A}{y \cdot z \cdot dA}
\label{eqn:Moment_über_dA03}
\end{aligned}
\end{equation}

Mit dem Flächenträgheitsmoment bzgl. der y-Achse
\begin{equation}
I_{yz} ~=~ \int\limits_{A}{y \cdot z \cdot dA}
\end{equation}
daraus folgt
\begin{equation}
\begin{aligned}
M ~&=~\rho \cdot g \cdot cos\, \alpha \cdot I_{yz} ~~.
\end{aligned}
\end{equation}

Die Lage des Druckpunktes in z-Richtung ergibt sich somit aus der Betrachtung des Momentensatzes unter der Bedingung, dass \sum{M_y}=0.
\begin{align}
M ~&=~ F \cdot z_D
\nonumber \\
z_D ~&=~\frac{M}{F} ~=~ \frac{\rho \cdot g \cdot cos\, \alpha \cdot I_{yz}}{\rho \cdot g \cdot cos\, \alpha \cdot A \cdot z_s}
\nonumber \\
~&=~ \frac{I_{yz}}{A \cdot z_S}
\end{align}

 

Das Flächenträgheitsmoment I_z entspricht dem Flächenträgheitsmoment I_s, wenn die Drehachse durch den Flächenschwerpunkt geht. In allen anderen Fällen, d.\,h. der Drehpunkt befindet sich außerhalb des Schwerpunkts, berechnet sich das zu verwendende Flächenträgheitsmoment I_z nach dem 'Satz von Steiner' wie folgt:
\begin{equation}
\begin{aligned}
I_z ~= ~ {I_S ~+~ (A \cdot y_S^2)}
\end{aligned}
\end{equation}
mit der Einheit [m^4]. Die Größe y_s bezeichnet hier die Verschiebung der Drehachse aus dem Schwerpunkt.

Damit folgt die Koordinate y_D für den Druckmittelpunkt eines symmetrischen Querschnitts zu
\begin{equation}
\begin{aligned}
y_D ~&=~ {\frac{I_S}{A \cdot y_S} ~+~ y_S~~.}
\end{aligned}
\end{equation}

Der Abstand des Druckmittelpunktes D vom Flächenschwerpunkt S wird Exzentrizität e genannt und ist wie folgt definiert:
\begin{equation}
\begin{aligned}
e~=~ {y_D~-~y_S ~=~ \frac{I_S}{A \cdot y_S}~~.}
\end{aligned}
\end{equation}

Somit berechnet sich der Abstand des Druckmittelpunktes von der Oberfläche zu
\begin{equation}
\begin{aligned}
h_D ~&=~y_D \cdot cos \, \alpha
\\
~&=~ \left( y_S ~+~ \frac{I_S}{A \cdot y_S} \right) \cdot cos\, \alpha
\\
~&=~ y_S \cdot cos\, \alpha ~+~\frac{I_S}{A \cdot y_S} \cdot cos\, \alpha
\\
~&=~ h_S ~+~ \frac{I_S}{A \cdot y_S} \cdot cos\, \alpha
\\
~&=~ h_S ~+~ \frac{I_S}{A \cdot h_S} \cdot \left(cos\, \alpha \right)^2~~.
\end{aligned}
\end{equation}

Wie oben erwähnt, gilt dies für symmetrische Flächen, da S und D in diesem Fall auf einer Symmetrieebene liegen. Bei nichtsymmetrischen Flächen müssen die Koordinaten z_S und z_D aus der Momentenbilanz um die y-Achse bestimmt werden. Die Herleitung erfolgt analog zum Momentengleichgewicht um die z-Achse. Hierbei ist das gemischte Flächenträgheitsmoment I_{yz} zu verwenden:

\begin{equation}
dM = dF \cdot z = \rho \cdot g \cdot \cos(\alpha) \cdot y \cdot z \cdot dA
\end{equation}

Somit ergibt sich das Gesamtmoment aus der Integration über die Fläche dA:

\begin{equation}
M = \rho \cdot g \cdot \cos(\alpha) \cdot \int_A y \cdot z \cdot dA
\end{equation}

Mit dem Flächenträgheitsmoment bzgl. der y-Achse
\begin{equation}
I_{yz} ~=~ \int\limits_{A}{y \cdot z \cdot dA}
\end{equation}
folgt aus Gleichung (25)
\begin{equation}
\begin{aligned}
M ~&=~\rho \cdot g \cdot cos\, \alpha \cdot I_{yz} ~~.
\end{aligned}
\end{equation}

Die Lage des Druckpunktes in z-Richtung ergibt sich somit aus der Betrachtung des Momentensatzes unter der Bedingung, dass \sum{M_y}=0.
\begin{align}
M ~&=~ F \cdot z_D
\nonumber \\
z_D ~&=~\frac{M}{F} ~=~ \frac{\rho \cdot g \cdot cos\, \alpha \cdot I_{yz}}{\rho \cdot g \cdot cos\, \alpha \cdot A \cdot z_s}
\nonumber \\
~&=~ \frac{I_{yz}}{A \cdot z_S}
\end{align}

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