Fluidkraft auf eine gekrümmte Wand

Fluidkraft auf eine gekrümmte Wand

Analog der Betrachtung an einer ebenen Wand im vorherigen Kapitel, wird die Berechnung der Druckkraft auf eine gekrümmte Wand durchgeführt. Am Beispiel einer zylindrischen Wandung soll die resultierende Kraft $F$ auf die Fläche $A$ berechnet werden. Da hierbei Kräfte sowohl in $x$- als auch $y$-Richtung wirken, wird die Gesamtkraft $F$ aufgeteilt in die beiden Kraftkomponenten $F_x$ (horizontal) und $F_y$ (vertikal). Für beide Komponenten werden der Betrag sowie der Angriffspunkt getrennt für das als eben angenommene Flächenelement $dA$ bestimmt.

 

Die horizontale Kraftkomponente $dF_x$ ergibt sich für die Fläche $dA$ zu:
\begin{align}
dF_x ~&=~ {dF \cdot cos \, \alpha}
=~ {(p(y_{S,dA_x}) ~-~ p_0) \cdot dA \cdot cos\, \alpha}
\end{align}

Mit Projektion $dA_x$ von $dA$ senkrecht zur x-Achse folgt daraus
\begin{align}
dF_x ~&=~ {(p(y_{S,dA_x}) ~-~ p_0) \cdot dA_x}
=~ {\rho \cdot g \cdot y_{S,dA_x} \cdot dA_x~~.}
\end{align}

Die Kraftkomponente $F_x$ ergibt sich durch Integration
\begin{align}
F_x ~&=~ {\rho \cdot g \cdot \int\limits_{A} y_{S,dA_x} \cdot dA_x}
=~ {\rho \cdot g \cdot y_{S,dA_x} \cdot A_x}
\end{align}
wobei $y_{S,A_x}$ die Tiefe des Schwerpunktes der projizierten Fläche $A_x$ ist. Somit entspricht die Druckkraft auf eine gekrümmte Wand der Druckkraft auf die horizontale Projektion dieser Wand. Der Abstand $e_x$ der Wirkungslinie zum Schwerpunkt (in Projektion) ergibt sich zu
\begin{equation}
e_x ~=~ \frac{I_{S,A_x}}{y_{S,A_x} \cdot A_x}~~.
\end{equation}

 

Die vertikale Kraftkomponente $dF_y$ ergibt sich für die Fläche $dA$ mit $y_{S,dA_y}=y_{S,dA_x}$zu:
\begin{align} dF_y ~&=~ dF \cdot sin \, \alpha
~=~ {\rho \cdot g \cdot y_{S,dA_x} \cdot dA \cdot sin\, \alpha}
~=~ {\rho \cdot g \cdot y_{S,dA_x} \cdot dA_y}
\end{align}

\end{align}
Integration liefert auch hier
\begin{equation}
\begin{aligned}
F_y ~&=~ {\rho \cdot g \cdot \int\limits_{A} y_{S,dA_x} \cdot dA_y }
\end{aligned}
\end{equation}
wobei $y_{S,dA_x} \cdot dA_y$ das Volumen der Flüssigkeitssäule oberhalb von $dA$ darstellt. Somit ergibt sich für das gesamte Flüssigkeitsvolumen
\begin{equation}
\begin{aligned}
F_y ~&=~ {\rho \cdot g \cdot V_A}
\end{aligned}
\end{equation}

 

Diese Kraft $F_y$ wirkt in der Vertikalen, ausgehend vom Schwerpunkt des Volumens $V_A$ nach unten. Physikalisch ist dies gleichbedeutend mit der Gewichtskraft der Flüssigkeitssäule oberhalb der Fläche $A$. Im Sonderfall, dass die Flüssigkeit die gekrümmte Wand von unten benetzt, ist die Kraftkomponente $F_y$ negativ, d.h. nach oben gerichtet und somit gleichbedeutend mit der 'fehlenden' Flüssigkeit von oben.

 

Die Gesamtkraft $F$ auf die gekrümmte Fläche ergibt sich durch Vektoraddition der Kraftkomponenten $F_x$ und $F_y$ zu
\begin{equation}
F ~=~ {\sqrt{F^{2}_{x} ~+~ F^{2}_{y}}}
\end{equation}
und der Winkel zur Horizontalen als
\begin{equation}
tan\, \alpha ~=~ {\frac{F_y}{F_x}~~.}
\end{equation}
Die Wirkungslinie der resultierenden Kraft $F$ geht durch den Schnittpunkt der Wirkungslinien der einzelnen Kraftkomponenten $F_x$ und $F_y$.

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