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Grenzschicht

Die Strömung eines realen Fluids um einen Körper wird in der Aerodynamik behandelt. Klassischerweise handelt es sich hier um die Umströmung fester Körper mit Luft als Medium. Aus der Umströmung resultieren aerodynamische Kräfte auf den Körper, welche entsprechend ihrer Charakteristik mehr oder weniger auf Reibung oder aber Grenzschichtablösung beruhen. Bei kleinen Geschwindigkeiten, ergo Reynoldszahlen, überwiegt die viskose Beeinflussung der Strömung in der dünnen Grenzschicht, wohingegen bei höheren Geschwindigkeiten die Einflüsse der Grenzschichtablösung und der daraus resultierenden Druckverteilung überwiegen.

Entscheidend für die Beschreibung der Strömungsphänomene ist für viele Anwendungen auch der Einfluss der Kompressibilität des Fluids. Analog zu Kap.Dichte und spezifisches Volumen wird im folgenden jedoch davon ausgegangen, dass sich Luft bis in den Bereich v_0 \approx 150\,m/s inkompressibel verhält, womit \rho = konstant ist. Die Behandlung der Problematik wird dadurch ohne wesentliche Einbußen wesentlich einfacher.

Geschichtsentwicklung

Die Darstellung und Erklärung der Grenzschichtentwicklung erfolgt am Beispiel einer längs angeströmten Platte nach Abb. Grenzschicht an einer ebenen Platte. An dieser gilt analog zu den Kapiteln Viskosität direkt an der Oberfläche ebenfalls die Haftbedingung v(y=0)=0, welche Ursache für die Ausbildung einer Grenzschicht ist. Damit ergeben sich in Wandnähe sehr hohe Geschwindigkeitsgradienten quer zur Hauptströmungsrichtung.

Grenzschichtentwicklung an einer ebenen Platte

Grenzschichtentwicklung an einer ebenen Platte

Im laminaren Bereich sind die Reibungskräfte ausreichend groß, um Störungen zu dämpfen. Im Übergangsbereich sind die Reibungskräfte nicht mehr ausreichend, um eine vollständige Dämpfung der Störungen zu gewährleisten, d.h. die Störungen wachsen an. Im turbulenten Bereich sind die die Störungen schließlich regellos und nur noch statistisch zu erfassen.

Das Geschwindigkeitsprofil im laminaren Bereich hat analog zum Geschwindigkeitsprofil einer laminaren Rohrströmung ein parabolisches Profil. Im turbulenten Bereich ist das Geschwindigkeitsprofil aufgrund des Impuls- und Energieaustauschs bauchiger, der Geschwindigkeitsgradient an der Wand steiler und die Wandschubspannung dementsprechend höher. Die turbulente Grenzschicht ist vergleichsweise dicker als die laminare Grenzschicht, wobei sich auch bei der turbulenten Grenzschicht immer eine laminare Unterschicht ausbildet.

Die Grenzschichtdicke nimmt bei konstanter Geschwindigkeit v_\infty mit der Lauflänge zu. Nimmt die Geschwindigkeit v_\infty zu, wird die Grenzschicht an einem bestimmten Punkt x dünner.

Der laminar-turbulente Umschlag erfolgt an einer ebenen Platte bei einer kritischen Reynoldszahl von
Re_{krit.}= \frac{v_{\infty}\cdot x_U}{\nu} = {3\cdot 10^5\div5\cdot 10^5 \quad}{.}
Für die Betrachtung der Grenzschicht selbst wird immer ein rechtwinkliges Koordinatensystem verwendet, bei welchem die x-Koordinate der jeweiligen Körperkontur folgt. Dementsprechend liegt in Abb. Grenzschichtverhalten bei Umströmung eines gewölbten Körpers die x-Achse tangential am Profil an und die y-Achse steht in jedem Punkt darauf senkrecht. Man sieht sehr schön, dass für die Reibungswiderstände (c_W) die Lage des Umschlagpunkts in Abb. Grenzschichtentwicklung an einer ebenen Platte und für die Druckverteilung (c_P) entlang des dargestellten Körpers in Abb. Grenzschichtverhalten bei Umströmung eines gewölbten Körpers die Lage des Ablösepunkts entscheidend ist.

Grenzschichtverhalten bei Umströmung eines gewölbten Körpers

Grenzschichtverhalten bei Umströmung eines gewölbten Körpers

 Grenzschichtdicke

Die Grenzschichtdicke in Abhängigkeit der Lauflänge lässt sich für den laminaren und turbulenten Bereich wie folgt berechnen. Auf die Herleitung wird aufgrund des hohen Aufwands nicht näher eingegangen.

Laminare Grenzschichtdicke
\delta_l = 5 \cdot \frac{x_l}{\left(\frac{v_{\infty} \cdot x_l}{\nu}\right)^{\frac{1}{2}}} \sim{x_l}^{0.5}~~~~~~ für ~~~Re \leq Re_{krit.}

Turbulente Grenzschichtdicke
\delta_t = 0.37 \cdot \frac{x_t}{\left(\frac{v_{\infty} \cdot x_t}{\nu}\right)^{\frac{1}{5}}} \sim{x_t}^{0.8}~~~~~~ für ~~~Re \geq Re_{krit.}
wobei die turbulente Lauflänge x_t ab dem laminar-turbulenten Umschlagpunkt gemessen wird.

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