Menü

Geschwindigkeitsverteilung der laminaren Rohrströmung

Bisher wurden die Verluste in der Rohrströmung ohne genaue Kenntnis der Geschwindigkeitsverteilung über den Querschnitt ermittelt. In Abhängigkeit einer laminaren oder turbulenten Strömung im Rohr bilden sich jedoch unterschiedliche Geschwindigkeitsverteilungen aus. Für die laminare Rohrströmung wird die Geschwindigkeitsverteilung im kreisrunden Querschnitt für eine ausgebildete Strömung (Anlaufstrecke ca. l_{lam}= 0.06 \cdot d \cdot Re) im folgenden detailliert hergeleitet.

Für ein zylindrisches Element in der Rohrströmung ergeben sich die folgenden Kräfte:
Druckkraft:

\begin{equation}
F_p = \pi r² \cdot (p_1 - p_2)
\label{eqn:Druckkraft_lam_Stroemung}
\end{equation}

Reibungskraft:

\begin{equation}
F_R = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot l \cdot \tau = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot l \cdot (- \eta \cdot \frac{du}{dr})
\label{eqn:Reibkraft_lam_Stroemung}
\end{equation}

Unter der Randbedingung einer stationären Strömung herrscht Gleichgewicht zwischen Druckkraft und Reibungskraft, zudem ist aufgrund der Haftbedingung die Geschwindigkeit u(R)=0.

Gleichsetzen der beiden Gleichungen \eqref{eqn:Druckkraft_lam_Stroemung} und \eqref{eqn:Reibkraft_lam_Stroemung} ergibt die folgende Differentialgleichung:
\begin{equation}
-\frac{du}{dr} = \frac{1}{2 \cdot \eta} \cdot \frac{\Delta p}{l} \cdot r
du= \frac{1}{2 \cdot \eta} \cdot \frac{\Delta p}{l} \cdot r \cdot dr
\end{equation}

woraus man durch Integration die Geschwindigkeitsverteilung u(r) erhält:
\begin{equation}
u(r) = {- \frac{1}{2 \cdot \eta} \cdot \frac{\Delta p}{l}\cdot \frac{r²}{2} + K} \quad.
\end{equation}

Aus der Randbedingung u(R) = 0 erhält man den Wert der Konstanten

K= {\frac{\Delta p}{4 \cdot \eta \cdot l} \cdot R^2}

und somit die quadratische Geschwindigkeitsverteilung im Rohrquerschnitt
\begin{equation}
u(r) = \frac{\Delta p}{4 \cdot \eta \cdot l} \cdot (R²-r²)~~.
\end{equation}

Voll ausgebildetes laminares Geschwindigkeitsprofil

Voll ausgebildetes laminares Geschwindigkeitsprofil

 

Hieraus ist direkt ersichtlich, dass die Strömung symmetrisch zur Mittellinie ist und der Maximalwert der Geschwindigkeit bei r=0 mit
\begin{equation}
u_{max} = {u(0) = \frac{\Delta p}{4 \cdot \eta \cdot l} \cdot R^2}
\label{eqn:u_max_laminar}
\end{equation}
auftritt.

Aus der Kontinuitätsbetrachtung ergibt sich durch Gleichsetzen die mittlere Geschwindigkeit \overline{u}
\begin{equation}
\dot{m} = \rho \cdot \overline{u} \cdot \pi \cdot R^2 = \rho \cdot \int_0^R \! u(r) \cdot 2 \pi r \cdot dr
= \rho \cdot \int_0^R \ \frac{\Delta p}{4 \cdot \eta l} \\
\rho \cdot \frac{\Delta p \cdot \pi}{8 \cdot \eta \cdot l} \cdot R^4 \\
\overline{u} = {\frac{\Delta p }{8 \cdot \eta \cdot l} \cdot R^2}
\label{eqn:u_mittel_laminar}
\end{equation}
Somit ergibt sich aus den Gleichungen \eqref{eqn:u_max_laminar} und \eqref{eqn:u_mittel_laminar}, dass für die ausgebildete, stationäre Laminarströmung im Kreisquerschnitt gilt
\overline{u} = \frac{u_{max}}{2}~~~~{\mathrm{bzw.}}~~~~u_{max}= 2 \cdot \overline{u}~~{.}

Geschwindigkeitsverteilung der turbulenten Rohrströmung

Bei Steigerung der Reynoldszahl Re>2320 schlägt die laminare Strömung in eine turbulente Strömung um, d.h. die inneren Strömungsschichten brechen nach außen durch und tauschen sowohl Impuls als auch Energie mit den Schichten Richtung Wand aus. Nach der Kontinuitätsgleichung muss dementsprechend das Geschwindigkeitsniveau zur Mitte gegenüber dem laminaren Profil sinken, was gleichbedeutend mit einem Abflachen ist. Zudem steigt der Druckverlust.

turbulentes GeschwindigkeintsprofilFür das turbulente Strömungsprofil der Geschwindigkeit sind je nach Ansatz der Grenzschichtmodellierung verschiedene Formulierungen verfügbar. Allen gemeinsam ist, dass sich \overline{u} und u_{max} annähern und im Bereich bewegen von
\overline{u} = 0.8 \div0.9~u_{max}~~{.}
Die Anlauflänge beträgt ca. l_{turb}=10 \cdot d.

Diese Thematik ist jedoch aufgrund ihrer Komplexität und Vielschichtigkeit Inhalt spezieller Vorlesungen. 

 

Sichern Sie sich jetzt das komplette Wissen als PDF (100% Gratis!)

Skript Buch Vorlage3

Kostenloses PDF-Skript zur Strömungsmechanik

Sparen Sie wertvolle Zeit mit allen wichtigen Informationen zur: Strömungsmechanik, Hydrostatik, Aerostatik und vielem mehr...

×
Show

cal-Q

Die Rechner für Thermodynamik, Strömungsmechanik und Verfahrenstechnik.

Online. Kostenlos. Jetzt vorbeischauen!

Registrieren Sie sich jetzt und sichern Sie sich die kostenfreien Berechnungsprogramme für Ingenieure.