Hagen poiseuille Gesetz

Geschwindigkeitsverteilung der laminaren Rohrströmung

Bisher wurden die Verluste in der Rohrströmung ohne genaue Kenntnis der Geschwindigkeitsverteilung über den Querschnitt ermittelt. In Abhängigkeit einer laminaren oder turbulenten Strömung im Rohr bilden sich jedoch unterschiedliche Geschwindigkeitsverteilungen aus. Für die laminare Rohrströmung wird die Geschwindigkeitsverteilung im kreisrunden Querschnitt für eine ausgebildete Strömung (Anlaufstrecke ca. $$l_{lam}= 0.06 \cdot d \cdot Re$$) im folgenden detailliert hergeleitet.

Für ein zylindrisches Element in der Rohrströmung ergeben sich die folgenden Kräfte:
Druckkraft:

\begin{equation}
F_p = \pi r² \cdot (p_1 – p_2)
\label{eqn:Druckkraft_lam_Stroemung}
\end{equation}

Reibungskraft:

\begin{equation}
F_R = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot l \cdot \tau = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot l \cdot (- \eta \cdot \frac{du}{dr})
\label{eqn:Reibkraft_lam_Stroemung}
\end{equation}

Unter der Randbedingung einer stationären Strömung herrscht Gleichgewicht zwischen Druckkraft und Reibungskraft, zudem ist aufgrund der Haftbedingung die Geschwindigkeit $$u(R)=0$$.

Gleichsetzen der beiden Gleichungen \eqref{eqn:Druckkraft_lam_Stroemung} und \eqref{eqn:Reibkraft_lam_Stroemung} ergibt die folgende Differentialgleichung:
\begin{equation}
-\frac{du}{dr} = \frac{1}{2 \cdot \eta} \cdot \frac{\Delta p}{l} \cdot r
du= \frac{1}{2 \cdot \eta} \cdot \frac{\Delta p}{l} \cdot r \cdot dr
\end{equation}

woraus man durch Integration die Geschwindigkeitsverteilung $$u(r)$$ erhält:
\begin{equation}
u(r) = {- \frac{1}{2 \cdot \eta} \cdot \frac{\Delta p}{l}\cdot \frac{r²}{2} + K} \quad.
\end{equation}

Aus der Randbedingung $$u(R) = 0$$ erhält man den Wert der Konstanten

$$K= {\frac{\Delta p}{4 \cdot \eta \cdot l} \cdot R^2}$$

und somit die quadratische Geschwindigkeitsverteilung im Rohrquerschnitt
\begin{equation}
u(r) = \frac{\Delta p}{4 \cdot \eta \cdot l} \cdot (R²-r²)~~.
\end{equation}

 

Hieraus ist direkt ersichtlich, dass die Strömung symmetrisch zur Mittellinie ist und der Maximalwert der Geschwindigkeit bei $$r=0$$ mit
\begin{equation}
u_{max} = {u(0) = \frac{\Delta p}{4 \cdot \eta \cdot l} \cdot R^2}
\label{eqn:u_max_laminar}
\end{equation}
auftritt.

Aus der Kontinuitätsbetrachtung ergibt sich durch Gleichsetzen die mittlere Geschwindigkeit $$\overline{u}$$
\begin{equation}
\dot{m} = \rho \cdot \overline{u} \cdot \pi \cdot R^2 = \rho \cdot \int_0^R \! u(r) \cdot 2 \pi r \cdot dr
= \rho \cdot \int_0^R \ \frac{\Delta p}{4 \cdot \eta l} \\
\rho \cdot \frac{\Delta p \cdot \pi}{8 \cdot \eta \cdot l} \cdot R^4 \\
\overline{u} = {\frac{\Delta p }{8 \cdot \eta \cdot l} \cdot R^2}
\label{eqn:u_mittel_laminar}
\end{equation}
Somit ergibt sich aus den Gleichungen \eqref{eqn:u_max_laminar} und \eqref{eqn:u_mittel_laminar}, dass für die ausgebildete, stationäre Laminarströmung im Kreisquerschnitt gilt
$$\overline{u} = \frac{u_{max}}{2}~~~~{\mathrm{bzw.}}~~~~u_{max}= 2 \cdot \overline{u}~~{.}$$

Geschwindigkeitsverteilung der turbulenten Rohrströmung

Bei Steigerung der Reynoldszahl $$Re>2320$$ schlägt die laminare Strömung in eine turbulente Strömung um, d.h. die inneren Strömungsschichten brechen nach außen durch und tauschen sowohl Impuls als auch Energie mit den Schichten Richtung Wand aus. Nach der Kontinuitätsgleichung muss dementsprechend das Geschwindigkeitsniveau zur Mitte gegenüber dem laminaren Profil sinken, was gleichbedeutend mit einem Abflachen ist. Zudem steigt der Druckverlust.

Für das turbulente Strömungsprofil der Geschwindigkeit sind je nach Ansatz der Grenzschichtmodellierung verschiedene Formulierungen verfügbar. Allen gemeinsam ist, dass sich $$\overline{u}$$ und $$u_{max}$$ annähern und im Bereich bewegen von
$$\overline{u} = 0.8 \div0.9~u_{max}~~{.}$$
Die Anlauflänge beträgt ca. $$l_{turb}=10 \cdot d$$.

Diese Thematik ist jedoch aufgrund ihrer Komplexität und Vielschichtigkeit Inhalt spezieller Vorlesungen. 

 

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