Hydrodynamik

Grundbegriffe

Nach Kapitel Überblick lässt sich ein Strömungsfeld allgemein durch das Geschwindigkeitsfeld $$\vec{v}= (u_x,v_y,w_z,t)$$, den Druck $$p$$, die Temperatur $$T$$ und die Dichte $$\rho$$ beschreiben. Somit können die sechs Unbekannten mithilfe der drei Bewegungsgleichungen, der Kontinuitätsgleichung, des Energieerhaltungssatzes und der thermischen Zustandsgleichung berechnet werden. Für ideale Flüssigkeiten existiert keine Temperaturabhängigkeit der Zustandsgrößen und es gilt die Gleichung für ein Ideales Gas.
\begin{equation*}
p = \rho \cdot R_i \cdot T ~~.
\end{equation*}

Stationäre, quasistationäre und instationäre Strömung

Stationäre Strömung
Besteht keine Abhängigkeit der charakteristischen Größen einer Strömung (Dichte, Druck, Temperatur und Geschwindigkeit) von der Zeit, so wird dieser Zustand als stationäre Strömung bezeichnet. Die entsprechende Geschwindigkeit bleibt an einem Ort somit nach Größe und Richtung konstant. Gleichwohl kann die Geschwindigkeit an unterschiedlichen Stellen im Strömungspfad verschiedene Werte annehmen:
\begin{equation}
\frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{dp}{dt} = \frac{dT}{dt} = \frac{d\rho}{dt} {= 0~~.}
\end{equation}
Eine kontinuierliche Ausströmung aus einem ‚unendlich‘ großem Behälter beschreibt z.B. eine stationäre Strömung.

Quasistationäre Strömung
Eine quasistationäre Strönung ist dadurch gekennzeichnet, dass die Abhängigkeit der charakteristischen Größen von der Zeit zwar nicht exakt gleich Null, jedoch in erster Näherung in etwa Null ist, somit gilt:
\begin{equation}
\frac{d\vec{v}}{dt}\quad {\approx 0}\quad ;
~~ \frac{dp}{dt} \quad {\approx 0}\quad ;
~~ \frac{dT}{dt} \quad {\approx 0}\quad ;
~~ \frac{d\rho}{dt} \quad {\approx 0}\quad .
\end{equation}
Eine quasistationäre Strömung entspricht nach diesem Beispiel einer Ausströmung aus einem endlich großen Behälter, bei welchem der Wasserspiegel im Verlauf der Zeit zwar sinkt, jedoch nur unmerklich. Somit sind die charakteristischen Größen in erster Näherung stationär.

Instationäre Strömung
Bei der instationären Strömung sind die charakteristischen Größen alle von der Zeit abhängig:
\begin{equation}
\frac{d\vec{v}}{dt} \quad {\neq 0}\quad ;
~~ \frac{dp}{dt} \quad {\neq 0}\quad ;
~~ \frac{dT}{dt} \quad {\neq 0}\quad ;
~~ \frac{d\rho}{dt} \quad {\neq 0}\quad .
\end{equation}

Verlustfreier Ausfluss aus einem Behälter

Eine instationäre Strömung entspricht somit dem Ausfluss aus einem Behälter, in welchem sich der Flüssigkeitsspiegel mit der Zeit entsprechend der ausgeflossenen Menge verändert. Der Massenstrom $$\dot{m}$$ und die Ausflussgeschwindigkeit $$\vec{v}$$ ändern sich somit in Abhängigkeit der Füllstandshöhe $$h$$. Die Ausflussgeschwindigkeit ergibt sich nach Torricelli entsprechend der Geschwindigkeit, welche ein Fluidelement bei einem freien Fall aus der selben Höhe $$h$$ erreichen würde zu:
\begin{equation}
v_2=\sqrt{2 \cdot g \cdot h(t)}~~.
\label{eqn:Torricelli}
\end{equation}

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