Impulserhaltungssatz

Impulserhaltungssatz für inkompressible Fluide

Zusätzlich zu den bereits behandelten Erhaltungsgleichungen für die Masse und die Energie, kann für einen definierten Kontrollraum die Erhaltungsgleichung des Impulses des strömenden Fluids aufgestellt werden. Der Impulssatz beruht auf dem Zweiten Newton’schen Gesetz der Dynamik und es gilt mit $$m=const.$$

\begin{equation}
{\vec{F}} = {\frac{d(m \cdot \vec{u})}{dt} = m \cdot \frac{d\vec{u}}{dt} + \frac{d\vec{m}}{dt} \cdot \vec{u}}
\label{eqn:NewtonDynamik}
\end{equation}

Das Produkt aus Masse $$m$$ und Geschwindigkeit $$\vec{u}$$ wird als Impuls $$\vec{I}$$ bezeichnet

\begin{equation}
\vec{I}= {\int{\rho \cdot \vec{u} \cdot dV} =m \cdot \vec{u}}
\end{equation}
Da es sich bei der Geschwindigkeit $$\vec{u}$$ um einen Vektor handelt, ist auch der Impuls ein Vektor. Somit kann eine Änderung des Impulses (bei konstanter Masse) nur durch eine Geschwindigkeitsänderung erfolgen und entspricht einer Kraftwirkung.

Somit ergibt sich aus Glg. \eqref{eqn:NewtonDynamik}:
\begin{align}
\vec{F} \cdot dt ~ & = ~ d \left(m \cdot \vec{u} \right) ~ = ~ d\vec{I} \\
\int{\vec{F} \cdot dt} ~ & = ~ \int{d \left(m \cdot \vec{u} \right)} ~ = ~ \int{d\vec{I}} \\
\int{\vec{F} \cdot dt} ~ & = ~ m \cdot \vec{u} ~ = ~ \vec{I}
\end{align}
Auf Basis der d’Alembert’schen Betrachtung lässt sich Glg. \eqref{eqn:NewtonDynamik} umschreiben zu:

\begin{align}
\vec{F} ~ – ~ \frac{d\vec{I}}{dt} ~ &= \vec{F} ~ – ~ \vec{\dot{I}} ~ = ~ 0
\end{align}

und es ergibt sich der Impulssatz für die stationäre Strömung verallgemeinert zu
\begin{align}
\sum{\vec{F}} ~ – ~ \sum{\vec{\dot{I}}} ~ = ~
{
\sum{\vec{F}} ~ – ~ \sum{\left(\dot{m} \cdot \vec{u} \right)}}
~ = ~
{0} \quad .
\label{eqn:Impulssatz}
\end{align}

Der Impulssatz findet seine Anwendung in der Bestimmung von Kräften, die auf umströmte Körper wirken. Das Fluid ist hierbei massebehaftet und es gilt das Prinzip von actio=reactio, d.h. die vom Fluid ausgeübte Kraft auf den Körper wird von diesem in entgegengesetzter Richtung aufgebracht. Der Impulssatz beschreibt somit das Kräftegleichgewicht zwischen Körper und Fluid.

Betrachten wir die Impulserhaltung am Beispiel einer Fadenströmung durch einen raumfesten Kontrollraum wie in Abb. Impulsbilanz am Krümmer dargestellt. Analog zur Massen- bzw. Energiebilanz ist die Summe aller im Kontrollvolumen auftretenden Impulse konstant

$$ \sum{\vec{I}} =\text{ konstant} \quad{.}$$

Der als Eintrittsstoß auf den Kontrollraum wirkende Eintrittsimpulsstrom $$\vec{\dot{I}}_{A_1}$$ ergibt sich zu
\begin{equation}
\dot{I}_{A_1}= \int\limits_{A_1}{(\rho\cdot u_1)} \cdot u_1 \cdot dA
\end{equation}

und für den Ausströmimpulsstrom $$\vec{\dot{I}}_{A_2}$$ ergibt sich als Rückstoß auf den Kontrollraum gerichtet

\begin{equation}
\dot{I}_{A_2}=\int\limits_{A_2}{(\rho\cdot u_2)} \cdot u_2 \cdot dA ~~.
\end{equation}

Der Kontrollraum ist nach Abb. Impuls am Stromfaden so gewählt, dass die Berandung z. B. einem Stromfaden bzw. einer Wand entspricht und nicht durchströmt wird.

Somit ergeben sich die Zusammenhänge für die Geschwindigkeiten und Drücke in den
beiden Ebenen \kreis{1} und \kreis{2} für den horizontalen Krümmer aus der
Massen- bzw. Energiebilanz.
\begin{align}
\rho \cdot A_1 \cdot u_1 &= \rho \cdot A_2 \cdot u_2\\
u_2 &= u_1 \cdot \frac{A_1}{A_2}
p_1 + \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot u_1^2 \\
&= p_2 + \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot u_2^2
\left( p_{1,Ü} + p_0 \right) + \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot u_1^2\\
&= \left( p_{2,Ü} + p_0 \right) + \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot u_2^2
p_{2,Ü} \\ &= p_{1,Ü} + \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot u_1^2 \cdot
\left[ 1-\left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 \right]
\end{align}

Unter Berücksichtigung, dass die Strecke $$ds$$ der in der Zeit $$dt$$ mit der Geschwindigkeit $$u$$ zurückgelegten Strecke entspricht
\begin{equation}
ds = u ~ \cdot ~ dt
\end{equation}
lässt sich die zeitliche Impulsänderung im Kontrollraum darstellen als
\begin{equation}
\frac{dI}{dt} = {\int\limits_{KR}{(\rho \cdot u) \cdot u \cdot dA}~~.}
\end{equation}
Nach Gleichung \eqref{eqn:NewtonDynamik} besteht ein Gleichgewicht zwischen den am Kontrollvolumen angreifenden Kräften und der Impulsänderung
\begin{equation}
\sum\limits_{i}{F_i} – \frac{dI}{dt} = 0
\end{equation}

Die Summe der am Kontrollvolumen angreifenden Kräfte ergibt sich unter Berücksichtigung der

• Volumenkräfte durch äußere (Schwerkraft) oder innere (elektrische) Felder
  $$F_V = \rho \cdot g \cdot V{,}$$
• Druckkräfte auf Oberflächen resultierend aus dem Fluidüberdruck gegenüber dem Umgebungsdruck
  $$F_{p} = p_{ue} \cdot A {,}$$
• Reaktions-/Stützkräfte von festen Oberflächen
  $$F_S = F_{S_K} + F_{S_\tau}{,}$$

zu
\begin{equation}
\sum\limits_{i}{F_i} = {F_{V_i} + F_{p_i} + F_{S_i} \quad .}
\end{equation}

Die Anwendung des Impulssatzes \eqref{eqn:Impulssatz} auf stationäre Strömungen erfolgt unter der Voraussetzung, dass Impulsströme und Kräfte sich gegenseitig bedingen. Die Wirkung des einen ist die Folge des anderen.
Somit können die Impulsströme als Kräfte betrachtet werden und nach d’Alembert wird das dynamische Problem durch Einbeziehung der Impulsströme $$\sum{(\dot{m} \cdot \vec{c})}$$ in die vektorielle Kräftesumme $$\sum{\vec{F}}$$ nach Abb. Impulsbilanz am Krümmer auf ein statisches Problem zurückgeführt.

Die Lösung für den Kontrollraum erfolgt anschließend mit den Gleichgewichtsbedingungen der Statik:

• Summe aller Kräfte gleich Null $$\sum{\vec{F}}~=~0$$
• Summe aller Momente gleich Null $$\sum{\vec{M}}~=~0$$

Vorgehensweise zur Anwendung des Impulserhaltungssatzes

1. Wahl und Freischneiden des Kontrollraums, so dass auf der gesamten Berandung Druck, Geschwindigkeit, Fluidreibung nach Größe und Richtung sowie die Flächen bekannt sind
2. Kennzeichnen der Ein- und Austrittsflächen
3. Festlegung des Koordinatensystems
4. Einzeichnen der Geschwindigkeiten $$u_i$$, Druckkräfte $$\vec{F}_{p_i}$$, Impulsströme $$\vec{I}_i$$ und Gewichtskraft $$\vec{F}_G$$ in Bezug auf den gewählten Kontrollraum
5. Anwendung der Erhaltungsgleichungen und Berechnung von $$u_i$$, $$p_i$$, $$\rho_i$$ und $$\dot{m}_i$$ für die Ein-/ Austrittsflächen}
6. Ermittlung der resultierenden Kraft für jede Koordinatenrichtung}
7. Bestimmung der resultierenden Kraft nach Betrag und Richtung}

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