Inkompressible Strömung

Inkompressible Strömung mit Energiezufuhr

Für die industrielle Anwendung ist die Förderung von Fluiden von speziellem Interesse. Zur Berechnung wird die inkompressible Strömung einer Flüssigkeit mit Reibungsverlusten betrachtet. Die zum Transport benötigte Energie wird in den drei Formen der Bernoulli-Gleichung als spezifische Arbeit $$w_{12}$$ bzw. Wärme $$q_{12}$$ berücksichtigt. Das Vorzeichen der spezifischen Arbeit/Wärme berücksichtigt, ob am Fluid Arbeit verrichtet wird (Pumpe/Brennkammer: $$w_{12}$$ bzw. $$q_{12}$$ positiv) oder ob das Fluid Arbeit verrichtet (Turbine: $$w_{12}$$ negativ).
Somit lautet die Energieform der Bernoulligleichung unter Berücksichtigung von zugeführter Arbeit $$w_{13}$$ und Gesamtdissipation $$\varphi_{1 \rightarrow 3}$$ aus Reibung und Einbauten:
\begin{equation}
w_{13} + \frac{1}{2} \cdot {v_1}² + g \cdot h_1 + \frac{p_1}{\rho} =
\frac{1}{2} \cdot {v_3}² + g \cdot h_3 + \frac{p_3}{\rho} + \varphi_{1 \rightarrow 3}
\end{equation}
Da über die Pumpe keine Höhendifferenz überwunden wird, lässt sich die als Förderarbeit $$Y$$ bezeichnete mechanische Arbeit schreiben als:
\begin{equation}
w_{12} = Y = \frac{\Delta p}{\rho} = \frac{p_2 – p_1}{\rho}~~.
\end{equation}

Die als geodätische Höhendifferenz bezeichnete maximale Förderhöhe der Pumpe bei reibungsfreier Strömung, gleichen Geschwindigkeiten $$v_1=v_3$$ an Ein- und Austritt und gleichem Druck $$p_1 = p_3$$ ergibt sich somit zu
\begin{equation}
H = \frac{Y}{g}
\end{equation}
Die resultierende mechanische Pumpenleistung $$P_m$$ beträgt dann:
\begin{equation}
\begin{aligned}
P_m = \dot{m} \cdot Y =\dot{V} \cdot \rho \cdot Y = \dot{V} \cdot \Delta p~~.
\end{aligned}
\end{equation}

Tabelle Wirkungsgrade von Pumpe und Turbine

Die Wirkungsgrade einer Pumpe $$\eta_P$$ respektive einer Turbine $$\eta_T$$ ergeben sich wie in Tab.Wirkungsgrade von Pumpen und Turbinen dargestellt aus der an der Welle zugeführten/abgeführten Leistung $$P_W$$ und der hydraulischen Leistung $$P_h$$.

Zusammensetzung der Energieanteile in einem offenen System mit Reibung

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