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Polytrope Zustandsgleichung

Unter Berücksichtigung der realen Verhältnisse mit Kondensation und Verdampfen von Wasser geht die Temperatur mit etwa 0.65 Kelvin pro 100 m zurück. Dies ist in der Internationalen Höhenformel näherungsweise bis zu einer Höhe von 11 km ausgedrückt durch
\begin{equation}
p(z) = 1\,013.25 \cdot \left( 1-\frac{0.065 \cdot z}{288.15} \right)^{5.255}\,mbar.
\label{eqn:Höhenformelpolytrop}
\end{equation}

Die in Gleichung \eqref{eqn:Höhenformelpolytrop} ermittelten Werte basieren auf der Annahme, dass die beiden bisher betrachteten Näherungen einer isothermen bzw. isentropen Atmosphäre praktisch nicht realisierbar sind.
Zwischen diesen beiden Lösungen liegt die sogenannte polytrope Zustandsänderung:

\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{p}{\rho^n} & = const\\
\frac{\rho}{\rho_b} & = \left( \frac{p}{p_b}\right)^{1/n} ~~(polytrop)\\
\end{aligned}
\label{eqn:polytrop}
\end{equation}

Diese beinhaltet als Sonderfälle die genannten Modelle der isothermen bzw. isentropen Atmosphäre. Der Polytropenkoeffizient liegt zwischen dem Koeffizienten der Isotherme mit und dem Koeffizienten der Isentrope mit .

Somit gelten für die polytrope Zustandsänderung die gleichen Gleichungen wie für die isentrope Zustandsänderung, allerdings wird durch ersetzt:

Druckverlauf
\begin{equation}
\frac{p(z)}{p_0}= \left( 1-\frac{n -1}{n} \cdot \frac{z}{z_0} \right)^{\frac{n}{n-1}}
\end{equation}
Dichteverlauf
\begin{equation}
\frac{\rho(z)}{\rho_0}= \left( 1-\frac{n -1}{n} \cdot \frac{z}{z_0} \right)^{\frac{1}{n-1}}
\end{equation}

Temperaturverlauf
\begin{equation}
\frac{T(z)}{T_0}= \left( 1-\frac{\kappa -1}{\kappa} \cdot \frac{z}{z_0} \right)
\end{equation}

Für , d.h. erhält man aus Gleichung \eqref{eqn:polytrop} eine isobare Zustandsänderung, wohingegen mit eine isochore Zustandsänderung beschrieben wird. Hierbei ist .

Tabelle Zustandsänderungen in Abhängigkeit des Polytropenkoeffizienten

Tabelle Zustandsänderungen in Abhängigkeit des Polytropenkoeffizienten

Eine adiabete Zustandsänderung liegt vor, wenn der Vorgang ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfindet; ist dieser Vorgang zudem reversibel, dann bleibt auch die Entropie konstant. Diese adiabat-reversible Zustandsänderung nennt man isentrop und der entsprechende Polytropenexponent hat den Wert nach Gleichung \eqref{eqn:k_s}. Die entsprechenden Zustandsänderungen sind in Abb. Thermodynamische Zustandsänderungen in der p-v- bzw. T-s-Ebene im p-v- bzw. T-s-Diagramm dargestellt.

Thermodynamische Zustandsänderungen in der p-v- bzw T-s-Ebene

Thermodynamische Zustandsänderungen in der p-v- bzw T-s-Ebene

Diese beiden Stoffgrößen sind im allgemeinen, insbesondere bei Gasen, vom jeweiligen Druck in [Pa = N/m²] sowie der Temperatur in [K] abhängig.

Für die Bezugswerte
\begin{equation}
\begin{aligned}
p_b &= 1\,013\,mbar{,}\\
T_b &= 273.16\,K{,} \\
\rho_b &= 1.275\,kg/m³
\end{aligned}
\end{equation}
und die spezifische Gaskonstante für Luft von ergeben sich die in Tabelle Dichte von Luft und Wasser in Abhängigkeit der Temperatur bei 1013 mbar dargestellten Dichtewerte für Luft bzw. Wasser. Nach Zustandsgleichung für ideale Gase ändert sich hierbei die Dichte von Gasen proportional zum Druck und umgekehrt proportional zur Temperatur.

Tabelle Dichte von Luft und Wasser in Abhängigkeit der Temperatur bei 1013 mbar

Tabelle Dichte von Luft und Wasser in Abhängigkeit der Temperatur bei 1013 mbar

 

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