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Schaufelkraft im ebenen Schaufelgitter

Strömung am ebenen, horzintalen und stationären Schaufelgitter

Strömung am ebenen, horzintalen und stationären Schaufelgitter

Die Berechnung der Kräfte, welche auf technische Schaufelgitter, wie sie typischerweise  in Turbinen und Pumpen zum Einsatz kommen, wirken, erfolgt in erster Näherung mittels  eines ebenen Schaufelgitters nach Abb. Strömung am ebenen, horizontalen und stationären Schaufelgitter. Die weiteren geometrischen Abmessungen sind die Schaufelteilung t, d. h. der  Abstand der Profilachsen, sowie die Tiefe b der einzelnen Schaufeln. Hierbei  wird angenommen, dass sich die Geometrie der einzelnen Schaufel über die  Tiefe, z-Richtung, nicht ändert.
Weiterhin ist die Kenntnis der Geschwindigkeiten sowie der Drücke in den beiden Ebenen vor und nach dem Schaufelgitter notwendig.

 

 

Auf dieser Basis lassen sich sodann für eine inkompressible und reibungsfreie Strömung durch Anwendung der drei bekannten Erhaltungsgleichungen für Masse, Energie und Impuls
die am ebenen Schaufelgitter herrschenden Kräfte berechnen.

Analog zur bisherigen Vorgehensweise wird ein geeigneter Kontrollraum sowie ein Koordinatensystem eingezeichnet. Anschließend werden für die beiden Koordinatenrichtungen die jeweiligen Impulserhaltungssätze aufgestellt:

Impulssatz in x-Richtung (Kraftrichtung auf den Kontrollraum beachten):

 

Impulssatz in y-Richtung (Kraftrichtung auf den Kontrollraum beachten):

Massenerhaltungssatz in x-Richtung:
Aus der Kontinuitätsgleichung folgt, dass in den beiden gleich großen Querschnitten derselbe Massenstrom in x-Richtung fließt:
\begin{align}
u_{1_{x}} \cdot \left( t \cdot b \right) &= u_{2_{x}} \cdot \left( t \cdot b \right) \nonumber \\
u_{1_{x}} &= u_{2_{x}}
\label{eqn:u1x=u2x}
\end{align}

Energieerhaltungssatz:
Aus der Energieerhaltung folgt bei reibungsfreier und inkompressibler Strömung für das ebene, horizontale Schaufelgitter:
\begin{align}
p_{1,Ü} + \frac{\rho}{2} \cdot u_{1}^2
&=
p_{2,Ü} + \frac{\rho}{2} \cdot u_{2}^2
\nonumber \\
p_{1,Ü} + \frac{\rho}{2} \cdot \left( u_{1_{x}}^2 + u_{1_{y}}^2 \right)
&=
p_{2,Ü} + \frac{\rho}{2} \cdot \left( u_{2_{x}}^2 + u_{2_{y}}^2 \right)
\end{align}
mit Glg. \eqref{eqn:u1x=u2x} folgt hieraus:
\begin{align}
p_{2,Ü} - p_{1,Ü}
&=
\frac{\rho}{2} \cdot \left( u_{1_{y}}^2 - u_{2_{y}}^2 \right)
= - \frac{\rho}{2} \cdot \left( u_{2_{y}}^2 - u_{1_{y}}^2 \right)
\end{align}
bzw. aus Glg. \Impulssatz in x-Richtung (Kraftrichtung auf den Kontrollraum beachten):
\begin{align}
F_{W_{x}}&= -\left({p_{2,Ü}} - {p_{1,Ü}} \right) \cdot \left( t \cdot b \right)
\nonumber \\
&= \frac{\rho}{2} \cdot \left( t \cdot b \right)
\cdot \left( u_{2_{y}}^2 - u_{1_{y}}^2 \right)
\nonumber \\
&= \frac{\rho}{2} \cdot \left( t \cdot b \right)
\cdot \left( {u_{2_{y}}} - {u_{1_{y}}} \right)
\cdot \left( {u_{2_{y}}} + {u_{1_{y}}} \right)
\label{eqn:Kraft-x-ebenes-Schaufelgitter2}
\end{align}
und Glg. Impulssatz in y-Richtung (Kraftrichtung auf den Kontrollraum beachten):

\begin{align}
F_{W_{y}}&= \rho \cdot \left( t \cdot b \right) \cdot u_{2_{x}} \cdot u_{2_{y}}
- \rho \cdot \left( t \cdot b \right) \cdot u_{1_{x}} \cdot u_{1_{y}}
\nonumber \\
&= \rho \cdot \left( t \cdot b \right)
\cdot u_{1_{x}}
\cdot \left( u_{2_{y}} - u_{1_{y}} \right)
\label{eqn:Kraft-y-ebenes-Schaufelgitter2}
\end{align}

Nimmt die Geschwindigkeit über das Schaufelgitter ab, so muss der Druck über das Schaufelgitter zunehmen; es handelt sich um ein Pumpengitter. Dementsprechend nehmen in einem Turbinengitter über das Schaufelgitter die Geschwindigkeit zu und der Druck entsprechend ab.

Zur weiteren Darstellung wird die Zirkulation \Gamma (großes Gamma) als geschlossenes Linienintegral \Lambda (großes Lambda) eingeführt Für den in Abb. Strömung am ebenen, horizontalen und stationären Schaufelgitter betrachteten Kontrollraum ergibt sich hieraus:
\begin{align}
\Gamma = \left( u_{2_y} - u_{1_y} \right) \cdot t
\label{eqn:Zirkulation}
\end{align}
Unter Verwendung der mittleren Geschwindigkeiten
\begin{align}
u_{{\infty}_x} &= u_{1_{x}} = u_{2_{x}} \\
u_{{\infty}_y} &= \frac{u_{1_y} + u_{2_y}}{2}
\end{align}
und Glg. \eqref{eqn:Zirkulation} ergeben sich die Schaufelkräfte nach Glg. \eqref{eqn:Kraft-x-ebenes-Schaufelgitter2} und Glg. \eqref{eqn:Kraft-y-ebenes-Schaufelgitter2} für die beiden Koordinatenrichtungen zu
\begin{align}
F_{W_{x}} &= \rho \cdot b \cdot \Gamma \cdot u_{{\infty}_y}
\\
F_{W_{y}} &= \rho \cdot b\cdot \Gamma \cdot u_{{\infty}_x}
\label{eqn:Impuls-x-ebenes-Schaufelgitter3}
\end{align}

Somit ergibt sich die resultierende Wandkraft pro Schaufel zu
\begin{align}
F &= \sqrt{{F_{W_{x}}^2} + {F_{W_{y}}^2}}
\nonumber \\
&= \rho \cdot b\cdot \Gamma \cdot \sqrt{u_{{\infty}_y}^2 + u_{{\infty}_x}^2}
\nonumber \\
&= \rho \cdot b\cdot \Gamma \cdot u_{\infty}
\label{Gesamtkraft-ebenes-Schaufelgitter-pro-Schaufel}
\end{align}

Der Richtungswinkel \varphi der resultierenden Schaufelkraft ergibt sich aus Abb. Strömung am ebenen, horizontalen und stationären Schaufelgitter zu
\begin{align}
tan \varphi &= \frac{F_{W_{y}}}{F_{W_{x}}}
= \frac{u_{{\infty}_{y}}}{u_{{\infty}_{x}}} \nonumber \\
&= tan {\beta}_{\infty} \quad
\end{align}
womit \varphi = \beta.

Der resultierenden Wandkraft F_{W} als Reaktion steht als Aktion die durch den Impulsstrom bedingte dynamische Auftriebskraft F_A entgegen, weshalb gilt:
\begin{align}
\left| F_A \right| &= \left| F_W \right| \nonumber \\
F_A &= \rho \cdot b\cdot \Gamma \cdot u_{\infty}
\label{eqn:Kutta-Joukowsky}
\end{align}

Die Gleichung \eqref{eqn:Kutta-Joukowsky} wird als das Gesetz von Kutta-Joukowsky bezeichnet und zeigt, dass die Auftriebskraft F_A=F_W senkrecht zur mittleren Anströmgeschwindigkeit u_{\infty} wirkt, da \varphi=\beta_{\infty}. Hierbei ergibt sich die mittlere Anströmgeschwindigkeit als vektorielles Mittel der beiden Geschwindigkeiten u_1 und u_2 in der Anström- 1 bzw. Abströmebene 2.

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