Viskosität

Viskosität

 
In Flüssigkeiten und Gasen ist bei Formänderungen durch die Bewegung der einzelnen Teilchen ein Widerstand zu überwinden. Dieser Widerstand wird allgemein als Reibung bezeichnet und wird durch Schubspannungen innerhalb des Fluids übertragen. Diese Schubspannungen sind nach Newton direkt proportional zu den Geschwindigkeitsgradienten.

Anschaulich lässt sich dies am Beispiel einer laminaren Scherströmung zwischen zwei ebenen Platten darstellen. Hierbei ist im einfachsten Fall eine Platte ortsfest und die zweite Platte bewegt sich mit einer konstanten Geschwindigkeit $$U$$ parallel zur ersten. Dieser Aufbau ist allgemein als Couette-Strömung bekannt.

 

Aufgrund der Reibung der Fluidteilchen ist zum Bewegen der Platte mit einer vorgegebenen Geschwindigkeit eine Tangentialkraft $$F$$ in Abhängigkeit der Plattenfläche $$A$$ zu überwinden. Diese Kraft muss von der ortsfesten Platte als Gegenkraft aufgebracht werden. Aufgrund der Haftbedingung an beiden Platten und der über den Spalt konstanten Schubspannung ergibt sich die Schubspannung:

\begin{equation}
\tau = {\frac{F}{A} = \eta \ \frac{du}{dy} = \eta \ \frac{U}{h} ~~.}
\label{eqn:Zaehigkeit_F_A}
\end{equation}

Der in Gleichung \eqref{eqn:Zaehigkeit_F_A} verwendete Proportionalitätsfaktor $$\eta$$\footnote{Alternativ ist in der Literatur hierfür auch die Bezeichnung $$\mu$$ zu finden.} wird als dynamische Viskosität mit der Einheit [Pa\,s] bzw. [Ns/m²] bezeichnet. Die dynamische Viskosität ist stark temperatur\-abhängig, während der Druckeinfluss vernachlässigbar ist, d.h. $$\eta(T,P) \approx \eta[T]$$. Als abgeleitete Stoffgröße erhält man die kinematische Viskosität $$\nu$$ mit der Einheit [m²/s]:
\begin{equation}
\nu = {\frac{\eta}{\rho} ~~.}% = \eta \frac{du}{dy} = \eta \frac{U}{h}
\label{eqn:Zaehigkeit_nu}
\end{equation}

 

Ist die Viskosität unabhängig von der Schergeschwindigkeit, so spricht man von Newtonschen Fluiden. Es besteht ein linearer Zusammenhang zwischen der Schubspannung $$\tau$$ und der Schergeschwindigkeit $$du/dy$$.

Hängt die dynamische Viskosität $$\eta$$ dagegen von der Schergeschwindigkeit $$du/dy$$ ab und ist somit nichtlinear, spricht man von nicht-newtonschen Fluiden.

 

Die Temperaturabhängigkeit der dynamischen Viskosität für Gase und Flüssigkeiten ist in Abb. Schubspannung als Funktion der Schergeschwindigkeit am Beispiel von Luft und Wasser aufgetragen. Es ist ersichtlich, dass die Viskosität bei Gasen mit der Temperatur zunimmt während sie bei Flüssigkeiten bei steigender Temperatur abnimmt. Somit bietet sich zumindest theoretisch Potential, den Reibungswiderstand durch aktive Temperaturänderung der entsprechenden Oberfläche zu beeinflussen.

Der Einfluss der Temperaturabhängigkeit lässt sich für die Gase und Flüssigkeiten durch die beiden folgenden Gleichungen ausdrücken:

Gase
\begin{equation}
\frac{\eta}{\eta_b} = \frac{T_b + T_s}{T+T_s} \left( \frac{T}{T_b} \right)^{3/2} \approx \left( \frac{T}{T_b} \right)^{w}
\label{eqn:Gase_eta_etab}
\end{equation}

Flüssigkeiten
\begin{equation}
\frac{\eta}{\eta_b} = exp\left( \frac{T_A}{T+T_B} – \frac{T_A}{T_B + T_b} \right)
\label{eqn:Fluessig_eta_etab}
\end{equation}

Hierbei ist der Exponent $$w$$ für Gase an den jeweiligen Temperaturbereich anzupassen und die Gültigkeit von Gleichung \eqref{eqn:Fluessig_eta_etab} auf den Bereich von 0-100°C beschränkt.

Die in den Gleichungen \eqref{eqn:Gase_eta_etab} und \eqref{eqn:Fluessig_eta_etab} mit den Indizes ‚b‘, ‚B‘, ‚A‘ bzw. ‚S‘ gekennzeichneten Konstanten sind für Luft und Wasser bei einem Druck von $$p=1\,bar$$ in der folgenden Tabelle zusammengefasst:

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