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Kraft auf eine runde Absperrklappe

Beispielhaft wird die Berechnung der oben eingeführten Größen an einem Behälter mit ebenen Wänden und einer runden Absperrklappe nach Abb. Kräfte auf Bergrenzungswand und runde Verschlussklappe durchgeführt.

Gesucht sind die folgenden Werte:

  1. Kraft F_1 auf die horizontal mittig gelagerte Absperrklappe mit dem Durchmesser D?
  2. Lage des Kraftangriffpunktes von F_1?
  3. Kraft F_2 auf die linke Begrenzung mit der Tiefe B?
  4. Lage des Druckmittelpunktes von F_2?
Kräfte auf Begrenzungswand und runde Verschlussklappe

Kräfte auf Begrenzungswand und runde Verschlussklappe3

 

  1. Kraft auf die Absperrklappe (= geneigte Fläche A_1)?
    \begin{equation}
    \begin{aligned}
    F_1 ~&=~ {\rho \cdot g \cdot h_{S1} \cdot \frac{D^2 \cdot \pi}{4}} \\
    ~&=~ {38\,524~N}
    \end{aligned}
    \end{equation}
  2. Lage des Angriffspunktes von F_1?
    Exzentrizität zwischen Flächenschwerpunkt S und Druckmittelpunkt D der Fläche A_1:
    \begin{equation}
    \begin{aligned}
    e_1 ~&=~ y_{D_1} ~-~ y_{S_1} \\
    ~&=~ \frac{I_{S}}{A \cdot y_{S_1}} \\
    \mathrm{mit}~~~~I_{S,Kreisfläche} ~&=~ \frac{\pi \cdot D^4}{64},~~A ~=~ \frac{\pi \cdot D^2}{4},~~y_{S_1}~=~\frac{h_{S_1}}{cos\, \alpha}\\
    \mathrm{folgt} ~~~~e ~&=~ {\frac{\pi \cdot D^4 \cdot cos\, \alpha \cdot 4}{64 \cdot h_{S1} \cdot \pi \cdot D^2}} \\
    ~&=~ {0.0108\,m}
    \end{aligned}
    \end{equation}
  3. Kraft F_2 auf die linke Begrenzung?
    \begin{equation}
    \begin{aligned}
    F_2 &= {\rho \cdot g \cdot h_{S2} \cdot A_2}~~~~~~~~~\mathrm{mit}~~h_{S2}= {\frac{H}{2},} ~~A_2 = {B \cdot H} \\
    &= {2\,403\,450~N}
    \end{aligned}
    \end{equation}
  4. Lage des Druckmittelpunktes von F_2?
    Zu ermitteln ist der Druckpunkt h_{D2} aus der Beziehung zwischen Abstand e und Flächenschwerpunkt h_{S2}:
    \begin{equation}
    \begin{aligned}
    e &= {h_{D2} - h_{S2} = \frac{I_{Sx}}{h_{S2} \cdot A_2}} \\
    \Rightarrow ~~~ h_{D2} &= {h_{S2}+ \frac{I_{Sx}}{h_{S2} \cdot A_2}}
    \end{aligned}
    \end{equation}

Mit dem Flächenträgheitsmoment für das Rechteck der Begrenzung
\begin{equation}
\begin{aligned}
I_{Sx} = \frac{B \cdot H^3}{12}
\end{aligned}
\end{equation}
folgt

\begin{equation}
\begin{aligned}
h_{D2} &= {\frac{H}{2} + \frac{B \cdot H^3 \cdot 2}{12 \cdot H \cdot B \cdot H}} \\ \\
&= {4.667~m}
\end{aligned}
\end{equation}

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