Kontinuitätsgleichung
Massenerhaltungssatz
Zur Berechnung der Kontinuitätsgleichung betrachten wir einen abgegrenzten Kontrollraum innerhalb einer Strömung, welcher eine beliebige Kontur aufweisen kann und offen, d.h. in alle Richtungen durchströmbar ist. Nehmen wir als Kontrollvolumen eine Stromröhre, so wird jeder Querschnitt in einem bestimmten Zeitschritt von der gleichen Masse durchströmt. Diese ergibt sich aus der Dichte und dem Volumenelement durch die Verschiebung $$ds$$ des Querschnitts $$A$$ aufgrund der Geschwindigkeit $$v$$.
Bei kleinen Änderungen $$dA$$ im Vergleich zur Verschiebung $$ds$$ kann die Querschnittsänderung vernachlässigt werden: $$s \cdot dA \approx 0{.}$$
Massenerhaltung in einer Stromröhre
Hierbei werden ausströmende Volumen-/Massenströme in den Kontrollraum positiv und einströmende Volumen-/Massenströme negativ angesetzt.
Volumenstrom:
Somit berechnet sich der Volumenstrom zu:
\begin{align}
dV &= d( A \cdot s) = A \cdot ds + s \cdot dA \approx A \cdot ds
\dot{V} = \frac{dV}{dt} = A \cdot \frac{ds}{dt} = A \cdot v
\label{eqn:Volumenstrom}
\end{align}
Massenstrom:
Der Massenstrom ergibt sich aus Gleichung \eqref{eqn:Volumenstrom} unter Berücksichtigung der Dichte $$\rho$$:
\begin{align}
\dot{m} &= \frac{dm}{dt} = \frac{d(\rho \cdot V)}{dt}
= V \cdot \frac{d\rho}{dt} + \rho \cdot \frac{dV}{dt}
= V \cdot \dot{\rho} + \rho \cdot \dot{V}
\label{eqn:Massenstrom}
\end{align}
Für stationäre Strömungen eines inkompressiblen Fluids vereinfacht sich Gleichung \eqref{eqn:Massenstrom} mit $$\dot{\rho} = 0$$:
\begin{align}
\dot{m} &= \rho \cdot \dot{V}
= \rho \cdot v \cdot A \overset{!}{=} konstant.
\label{eqn:Massenstrom2}
\end{align}
Für inkompressible Fluide gilt entsprechend $$\dot{V}= v \cdot A \overset{!}{=}konstant$$.
