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Hydraulischer Druck

Druckverteilung in einer schweren Flüssigkeit
In einem nächsten Schritt betrachten wir den Einfluss der bisher als gering und damit vernachlässigbar eingestuften Gewichtskräfte. In Realität übt die jeweilige Gas- oder Flüssigkeitssäule eine Kraft resultierend aus ihrer Masse mal der am Ort vorherrschenden Beschleunigung (z.B. der Erdbeschleunigung) aus. Somit kann man Druckkräfte erfassen, welche sich mit der vertikalen Komponente ändern. Betrachten wir hierzu in Abb. Kräfte an einem Flüssigkeitszylinder bei konstanter Dichte die an einem aus einer Flüssigkeit herausgeschnittenen Zylinder angreifenden Kräfte, so ergibt sich aufgrund des von der Orientierung unabhängigen Drucks und des Kräftegleichgewichts in Ruhe folgender Zusammenhang:

 

Kräfte an einem Flüssigkeitszylinder bei konstanter Dichte

Kräfte an einem Flüssigkeitszylinder bei konstanter Dichte

 

 

 

\begin{equation}
\sum{F_y} = 0 \\
F_{p_0} + F_G-F_{p(y=h)} \\
\end{equation}

\begin{equation}
F_{p(y=h)} = p(h) \cdot dA \\
F_{p_0} = p_0 \cdot dA \\
F_G = g \cdot \rho \cdot dA \cdot h
\end{equation}

\begin{equation}
p(y=h) ~ = ~{p_0 + g \cdot \rho \cdot h }
\label{eqn:KräfteanZylinder}
\end{equation}

Ist das Koordinatensystem so gewählt, dass der Ursprung in y-Richtung in liegt, so ist als Variable beliebig und Gleichung \eqref{eqn:KräfteanZylinder} kann wie folgt dargestellt werden
\begin{equation}
p(z) ~=~ {p_0 + \rho \cdot g \cdot y ~~.}
\label{eqn:KräfteanZylinder2}
\end{equation}

Gleichung \eqref{eqn:KräfteanZylinder2} wird als Grundgleichung der Hydrostatik bezeichnet.

Somit setzt sich der Druck bei einem inkompressiblen, ruhenden Fluid an der Unterseite des Zylinders zusammen aus dem Druck und der auf diesem Punkt lastenden Flüssigkeitssäule mit der Höhe . Unter den obigen Randbedingungen herrscht in Punkten gleicher Tiefe stets der gleiche Druck und dieser nimmt proportional zur Tiefe zu.

 

Kommunizierende Röhren

In mit einem homogenen Fluid gefüllten Röhren, welche ausreichenden Durchmesser aufweisen, um die Kapillarwirkung zu vernachlässigen und unterhalb der freien Oberfläche verbunden sind, befinden sich die freien Oberflächen unabhängig von der Form in gleicher Höhe.

Auf diesem Prinzip basieren verschiedene Anwendungen wie der Siphon und die Schlauchwaage. Bei sorgfältiger Vorbereitung sind mit Präzisions-Schlauchwaagen sehr kleine Höhenunterschiede auf große Distanzen zu messen. Allerdings ist  darauf zu achten, dass keine störenden Effekte wie Schwingungen und durch Wind verursachte Differenzen des Luftdrucks auftreten. Die Genauigkeit kann dann besser sein als bei vergleichbaren optischen Verfahren, bei welchen Lichtbrechung und Dichteunterschiede Störungen verursachen.

 

U-Rohr mit zwei unterschiedlichen Fluiden

Sind kommunizierende Röhren mit zwei unterschiedlichen, nicht mischbaren Flüssigkeiten unterschiedlicher Dichte gefüllt, und liegt an den freien Oberflächen der selbe Druck an, so muss der Druck an der Grenzlinie A--A nach der hydrostatischen Grundgleichung in beiden Schenkeln gleich groß sein.

U-Rohr mit zwei inkompressiblen, nicht mischbaren Flüssigkeiten unterschiedlicher Dichte

U-Rohr mit zwei inkompressiblen, nicht mischbaren Flüssigkeiten unterschiedlicher Dichte

Eine Gleichgewichtsbetrachtung für das in Abb. U-Rohr mit zwei inkompressiblen, nicht mischbaren Flüssigkeiten unterschiedlicher Dichte dargestellte Beispiel für die beiden Schenkel gleichen Durchmessers ergibt
\begin{equation}
p_A = {p_0 + (\rho_{Wasser} \cdot g \cdot h_1)} \\
={p_0 ~+~ (\rho_{Öl} \cdot g \cdot h_2).}
\end{equation}
Daraus folgt mit
\begin{equation}
\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{h_1}{h_2},
\end{equation}
dass die Höhen der zwei Flüssigkeiten oberhalb der Trennfläche A--A bei gleichem Durchmesser umgekehrt proportional zu den Dichten sind.

 

U-Rohr-Manometer

In einem U-Rohr-Manometer macht man sich angewandt die obigen Erkenntnisse zur direkten Messung eines Gasdruckes nutzbar. Das Kräftegleichgewicht im Rohr in der Höhe der Anschlussstelle ergibt:

Unter der Voraussetzung, dass vereinfacht sich dies zu:

Somit wird direkt aus der Höhendifferenz der beiden Schenkel die Druckdifferenz zwischen Umgebungsdruck und dem zu messenden Druck bestimmt. Dies ist ursächlich für die früher gebräuchlichen Angaben in 'Millimeter Wassersäule' bzw. 'Millimeter Quecksilber'. Bei ausreichend großem Rohrdurchmesser hat die Kapillarität keinen Einfluss auf das Messergebnis.

U-Rohr-Manometer

U-Rohr-Manometer

 

Prandtl-Präzisions-Manometer

Das Prandtl-Präzisions-Manometer ist eine Sonderform eines U-Rohr-Manometers, bei welchem sich die beiden Querschnittsflächen deutlich voneinander unterscheiden. Die Bezugsebene ist das bei Druckgleichheit
\begin{equation*}
p_1=p_2
\end{equation*}
vorherrschende Flüssigkeitsniveau. Steigt nun das Druckniveau , so verändert sich die Steighöhe der Flüssigkeit im Messschenkel analog der Volumenänderung

Präzisionsmanometer nach Prandtl

Präzisionsmanometer nach Prandtl

 

Aus dieser erhält man durch Einsetzen in die Grundgleichung der Hydrostatik \eqref{eqn:KräfteanZylinder2}
\begin{equation}
p_2 ~-~ p_1 ~=~ {\rho \cdot g \cdot h_1 \cdot \left(1~+~\frac{A_1}{A_2} \right)}
\label{eqn:PrandtlMano01}
\end{equation}
Näherungsweise erhält man aus Gleichung \eqref{eqn:PrandtlMano01} für
\begin{equation}
p_2 ~-~ p_1 ~=~ {\rho \cdot g \cdot h_1~~.}
\label{eqn:PrandtlMano02}
\end{equation}
Die zu messende Druckdifferenz ist somit nur von der Steighöhe der Flüssigkeit abhängig und somit kann man an den Schenkel 1 eine feste Skala zum direkten Ablesen der Druckdifferenz anbringen.

Pascalsches Paradoxon
Das Pascalsche Paradoxon beschreibt den Einfluss unterschiedlich geformter Gefäße auf die Druckkraft bei gleich großen Grundflächen. Nach der Grundgleichung der Hydrostatik \eqref{eqn:KräfteanZylinder2} ist der Druck überall gleich groß und unabhängig von dem sich darüber befindlichen Flüssigkeitsvolumen, entscheidend ist allein die Füllhöhe h senkrecht zur Grundfläche. Dies widerspricht der 'Wahrnehmung', nach der man erwartet, dass der Druck auf die Grundplatte bei einem größeren Flüssigkeitsvolumen höher ist.

Pascalsches Paradoxon

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